Theorem ccatws1f1olast 33508

Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatws1f1olast.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
ccatws1f1olast.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ccatws1f1olast	⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1f1olast.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
2		ccatws1f1olast.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lencl 14671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzossfzop1 13871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8		sswrd 14660	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10		ccatws1f1olast.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11		f1of 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13		iswrdi 14655	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
15	9, 14	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16		fzonn0p1 13870	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
17	5, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
18	17	s1cld 14743	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
19	1	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20		ccatws1len 14761	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
21	2, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
22	19, 21	eqtr4id 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23		ccatws1f1olast.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
24		ccatws1cl 14757	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
25	2, 23, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
26	22, 25	wrdfd 14657	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27		ccatco 14979	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
29	12	frnd 6716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30		cores 6249	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
31	29, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
33	32	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34		fzossfz 13806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
35	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
36	35	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
37	34, 36	sseqtrid 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
38	37, 17	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
39	21	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
40	38, 39	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41		pfxres 14822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
42	25, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
43	23	s1cld 14743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44		pfxccat1 14844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
45	2, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
46	33, 42, 45	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
47	46	coeq1d 5839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
48	31, 47	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
49		s1co 14977	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
50	17, 26, 49	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51		ccats1val2 14768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
52	2, 23, 32, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
53	52	s1eqd 14741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
54	50, 53	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
55	48, 54	oveq12d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
56	28, 55	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651   ++ cconcat 14708  ⟨“cs1 14735   prefix cpfx 14813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814

This theorem is used by:  1arithidomlem2  34061