Theorem ccatws1f1olast 33272

Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatws1f1olast.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
ccatws1f1olast.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ccatws1f1olast	⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1f1olast.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
2		ccatws1f1olast.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lencl 14566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzossfzop1 13768	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8		sswrd 14555	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10		ccatws1f1olast.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11		f1of 6820	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13		iswrdi 14550	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
15	9, 14	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16		fzonn0p1 13767	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
17	5, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
18	17	s1cld 14637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
19	1	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20		ccatws1len 14654	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
21	2, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
22	19, 21	eqtr4id 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23		ccatws1f1olast.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
24		ccatws1cl 14650	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
25	2, 23, 24	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
26	22, 25	wrdfd 14552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27		ccatco 14868	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
29	12	frnd 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30		cores 6250	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
31	29, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
33	32	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34		fzossfz 13703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
35	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
36	35	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
37	34, 36	sseqtrid 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
38	37, 17	sseldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
39	21	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
40	38, 39	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41		pfxres 14713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
42	25, 40, 41	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
43	23	s1cld 14637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44		pfxccat1 14735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
45	2, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
46	33, 42, 45	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
47	46	coeq1d 5847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
48	31, 47	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
49		s1co 14866	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
50	17, 26, 49	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51		ccats1val2 14661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
52	2, 23, 32, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
53	52	s1eqd 14635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
54	50, 53	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
55	48, 54	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
56	28, 55	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ran crn 5662   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ⟨“cs1 14629   prefix cpfx 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33826