Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatws1f1olast Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatws1f1olast 32937
Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatws1f1olast.1 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4 (𝜑𝑋𝑆)
ccatws1f1olast.5 (𝜑𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
ccatws1f1olast (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast
StepHypRef Expression
1 ccatws1f1olast.1 . . . . . . 7 𝑁 = (♯‘𝑊)
2 ccatws1f1olast.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
3 lencl 14571 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
51, 4eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 fzossfzop1 13782 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8 sswrd 14560 . . . . 5 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10 ccatws1f1olast.5 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11 f1of 6848 . . . . . 6 (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13 iswrdi 14556 . . . . 5 (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
159, 14sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16 fzonn0p1 13781 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
175, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
1817s1cld 14641 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
191oveq1i 7441 . . . . 5 (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20 ccatws1len 14658 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
2219, 21eqtr4id 2796 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23 ccatws1f1olast.4 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
24 ccatws1cl 14654 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
252, 23, 24syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
2622, 25wrdfd 32918 . . 3 (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27 ccatco 14874 . . 3 ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
2815, 18, 26, 27syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
2912frnd 6744 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30 cores 6269 . . . . 5 (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
3129, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
321a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 = (♯‘𝑊))
3332oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34 fzossfz 13718 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
3519a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
3635oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
3734, 36sseqtrid 4026 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
3837, 17sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
3921oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
4038, 39eleqtrrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41 pfxres 14717 . . . . . . 7 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
4225, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
4323s1cld 14641 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44 pfxccat1 14740 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
452, 43, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
4633, 42, 453eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
4746coeq1d 5872 . . . 4 (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊𝑇))
4831, 47eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊𝑇))
49 s1co 14872 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
5017, 26, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51 ccats1val2 14665 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
522, 23, 32, 51syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
5352s1eqd 14639 . . . 4 (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
5450, 53eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
5548, 54oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
5628, 55eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   prefix cpfx 14708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709
This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33564
  Copyright terms: Public domain W3C validator