Theorem ccatws1f1olast 32881

Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatws1f1olast.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
ccatws1f1olast.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ccatws1f1olast	⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1f1olast.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
2		ccatws1f1olast.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lencl 14505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrid 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzossfzop1 13711	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8		sswrd 14494	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10		ccatws1f1olast.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11		f1of 6803	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13		iswrdi 14489	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
15	9, 14	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16		fzonn0p1 13710	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
18	17	s1cld 14575	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
19	1	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20		ccatws1len 14592	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
22	19, 21	eqtr4id 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23		ccatws1f1olast.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
24		ccatws1cl 14588	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
25	2, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
26	22, 25	wrdfd 14491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27		ccatco 14808	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
29	12	frnd 6699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30		cores 6225	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
33	32	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34		fzossfz 13646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
35	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
36	35	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
37	34, 36	sseqtrid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
38	37, 17	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
39	21	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
40	38, 39	eleqtrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41		pfxres 14651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
42	25, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
43	23	s1cld 14575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44		pfxccat1 14674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
45	2, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
46	33, 42, 45	3eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
47	46	coeq1d 5828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
48	31, 47	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
49		s1co 14806	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
50	17, 26, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51		ccats1val2 14599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
52	2, 23, 32, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
53	52	s1eqd 14573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
54	50, 53	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
55	48, 54	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
56	28, 55	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ran crn 5642   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567   prefix cpfx 14642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33514