Theorem ccatws1f1olast 32928

Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatws1f1olast.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
ccatws1f1olast.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ccatws1f1olast	⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1f1olast.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
2		ccatws1f1olast.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lencl 14551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzossfzop1 13759	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8		sswrd 14540	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10		ccatws1f1olast.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11		f1of 6818	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13		iswrdi 14535	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
15	9, 14	sseldd 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16		fzonn0p1 13758	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
18	17	s1cld 14621	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
19	1	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20		ccatws1len 14638	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
22	19, 21	eqtr4id 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23		ccatws1f1olast.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
24		ccatws1cl 14634	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
25	2, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
26	22, 25	wrdfd 14537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27		ccatco 14854	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
29	12	frnd 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30		cores 6238	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
33	32	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34		fzossfz 13695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
35	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
36	35	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
37	34, 36	sseqtrid 4001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
38	37, 17	sseldd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
39	21	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
40	38, 39	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41		pfxres 14697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
42	25, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
43	23	s1cld 14621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44		pfxccat1 14720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
45	2, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
46	33, 42, 45	3eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
47	46	coeq1d 5841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
48	31, 47	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
49		s1co 14852	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
50	17, 26, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51		ccats1val2 14645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
52	2, 23, 32, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
53	52	s1eqd 14619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
54	50, 53	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
55	48, 54	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
56	28, 55	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531   ++ cconcat 14588  ⟨“cs1 14613   prefix cpfx 14688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33551