Theorem ccatws1f1olast 32847

Description: Two ways to reorder symbols in a word 𝑊 according to permutation 𝑇, and add a last symbol 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatws1f1olast.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
ccatws1f1olast.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
ccatws1f1olast.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
ccatws1f1olast.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ccatws1f1olast	⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem ccatws1f1olast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1f1olast.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
2		ccatws1f1olast.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
3		lencl 14474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fzossfzop1 13680	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
8		sswrd 14463	. . . . 5 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Word (0..^𝑁) ⊆ Word (0..^(𝑁 + 1)))
10		ccatws1f1olast.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁))
11		f1of 6782	. . . . . 6 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)–1-1-onto→(0..^𝑁) → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁))
13		iswrdi 14458	. . . . 5 ⊢ (𝑇:(0..^𝑁)⟶(0..^𝑁) → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^𝑁))
15	9, 14	sseldd 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
16		fzonn0p1 13679	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
18	17	s1cld 14544	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)))
19	1	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1)
20		ccatws1len 14561	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
21	2, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
22	19, 21	eqtr4id 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
23		ccatws1f1olast.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
24		ccatws1cl 14557	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
25	2, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆)
26	22, 25	wrdfd 14460	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆)
27		ccatco 14777	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ ⟨“𝑁”⟩ ∈ Word (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)))
29	12	frnd 6678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁))
30		cores 6210	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ (0..^𝑁) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
33	32	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
34		fzossfz 13615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
35	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) + 1))
36	35	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
37	34, 36	sseqtrid 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) ⊆ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
38	37, 17	sseldd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...((♯‘𝑊) + 1)))
39	21	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0...((♯‘𝑊) + 1)))
40	38, 39	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
41		pfxres 14620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
42	25, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix 𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)))
43	23	s1cld 14544	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
44		pfxccat1 14643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
45	2, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
46	33, 42, 45	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) = 𝑊)
47	46	coeq1d 5815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ↾ (0..^𝑁)) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
48	31, 47	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) = (𝑊 ∘ 𝑇))
49		s1co 14775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩):(0..^(𝑁 + 1))⟶𝑆) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
50	17, 26, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩)
51		ccats1val2 14568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
52	2, 23, 32, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
53	52	s1eqd 14542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
54	50, 53	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
55	48, 54	oveq12d 7387	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ 𝑇) ++ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))
56	28, 55	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∘ (𝑇 ++ ⟨“𝑁”⟩)) = ((𝑊 ∘ 𝑇) ++ ⟨“𝑋”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536   prefix cpfx 14611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33480