Theorem cgraswaplr 28584

Description: Swap both side of angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgraswaplr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Proof of Theorem cgraswaplr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgracol.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
5		cgracol.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		cgracol.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		cgracol.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracol.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10		cgracol.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		cgracol.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
12	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane2 28572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane1 28571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15	cgraswap 28579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 16, 8, 9, 10, 11	cgratr 28582	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
18	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane3 28573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 2990	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
20	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane4 28574	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 19, 20	cgraswap 28579	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 10, 9, 8, 21	cgratr 28582	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  ⟨“cs3 14799  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  hlGchlg 28359  cgrAccgra 28566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-leg 28342  df-hlg 28360  df-cgra 28567

This theorem is referenced by:  isoas  28623