Theorem cgraswaplr 26190

Description: Swap both side of angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgraswaplr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Proof of Theorem cgraswaplr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgracol.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
4		eqid 2778	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
5		cgracol.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		cgracol.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		cgracol.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracol.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10		cgracol.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		cgracol.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
12	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane2 26178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane1 26177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15	cgraswap 26185	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 16, 8, 9, 10, 11	cgratr 26188	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
18	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane3 26179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 3024	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
20	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane4 26180	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 19, 20	cgraswap 26185	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 10, 9, 8, 21	cgratr 26188	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  ⟨“cs3 13999  Basecbs 16266  distcds 16358  TarskiGcstrkg 25798  Itvcitv 25804  hlGchlg 25968  cgrAccgra 26172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-concat 13667  df-s1 13692  df-s2 14005  df-s3 14006  df-trkgc 25816  df-trkgb 25817  df-trkgcb 25818  df-trkg 25821  df-cgrg 25879  df-leg 25951  df-hlg 25969  df-cgra 26173

This theorem is referenced by: (None)