MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgraswaplr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgraswaplr 28671
Description: Swap both side of angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgraswaplr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΉπΈπ·β€βŸ©)

Proof of Theorem cgraswaplr
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.i . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 cgracol.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4 eqid 2725 . 2 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
5 cgracol.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
6 cgracol.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 cgracol.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgracol.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 cgracol.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 cgracol.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
11 cgracol.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
121, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11cgrane2 28659 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1312necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
141, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11cgrane1 28658 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
1514necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15cgraswap 28666 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 16, 8, 9, 10, 11cgratr 28669 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
181, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11cgrane3 28660 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐷)
1918necomd 2986 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐸)
201, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11cgrane4 28661 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
211, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 19, 20cgraswap 28666 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΉπΈπ·β€βŸ©)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 10, 9, 8, 21cgratr 28669 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ΅π΄β€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπΉπΈπ·β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  βŸ¨β€œcs3 14823  Basecbs 17177  distcds 17239  TarskiGcstrkg 28273  Itvcitv 28279  hlGchlg 28446  cgrAccgra 28653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576  df-s2 14829  df-s3 14830  df-trkgc 28294  df-trkgb 28295  df-trkgcb 28296  df-trkg 28299  df-cgrg 28357  df-leg 28429  df-hlg 28447  df-cgra 28654
This theorem is referenced by:  isoas  28710
  Copyright terms: Public domain W3C validator