Theorem cgraswaplr 28073

Description: Swap both side of angle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgracol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
cgracol.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
cgracol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
cgracol.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
cgracol.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgraswaplr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Proof of Theorem cgraswaplr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		cgracol.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		cgracol.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
5		cgracol.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		cgracol.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		cgracol.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		cgracol.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		cgracol.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10		cgracol.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		cgracol.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
12	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane2 28061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	necomd 2996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
14	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane1 28060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
15	14	necomd 2996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15	cgraswap 28068	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 16, 8, 9, 10, 11	cgratr 28071	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
18	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane3 28062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐷)
19	18	necomd 2996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐸)
20	1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11	cgrane4 28063	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 19, 20	cgraswap 28068	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 17, 10, 9, 8, 21	cgratr 28071	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐹𝐸𝐷”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ⟨“cs3 14792  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 27675  Itvcitv 27681  hlGchlg 27848  cgrAccgra 28055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-trkgc 27696  df-trkgb 27697  df-trkgcb 27698  df-trkg 27701  df-cgrg 27759  df-leg 27831  df-hlg 27849  df-cgra 28056

This theorem is referenced by:  isoas  28112