Theorem chnlt 18529

Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnlt.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnlt.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))

Assertion

Ref	Expression
chnlt	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
2		chnlt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
3		chnlt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4		fzofzp1 13664	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
6	2, 5	pfxchn 18516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain 𝐴))
7		chnlt.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8		fzossz 13579	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
9	8, 3	sselid 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
11		1cnd 11107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	2	chnwrd 18514	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		pfxlen 14591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
14	12, 5, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
15	10, 11, 14	mvrraddd 11529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
16	15	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
17	7, 16	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
18	1, 6, 17	chnub 18528	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19		fzo0ssnn0 13646	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
20	19, 3	sselid 3927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		fzossfzop1 13643	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
23	22, 7	sseldd 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24		pfxfv 14590	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
25	12, 5, 23, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
26		lencl 14440	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28		fz0add1fz1 13635	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
29	27, 3, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30		pfxfvlsw 14602	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
31	12, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
32	10, 11	pncand 11473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
33	32	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
34	31, 33	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
35	18, 25, 34	3brtr3d 5120	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   Po wpo 5520  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  lastSclsw 14469   prefix cpfx 14578   Chain cchn 18511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-chn 18512

This theorem is referenced by:  chnso  18530  chnpof1  18536