Theorem chnlt 18797

Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnlt.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnlt.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))

Assertion

Ref	Expression
chnlt	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
2		chnlt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
3		chnlt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4		fzofzp1 13899	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
6	2, 5	pfxchn 18784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain 𝐴))
7		chnlt.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8		fzossz 13814	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
9	8, 3	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
11		1cnd 11302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	2	chnwrd 18782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		pfxlen 14833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
14	12, 5, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
15	10, 11, 14	mvrraddd 11727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
16	15	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
17	7, 16	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
18	1, 6, 17	chnub 18796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19		fzo0ssnn0 13881	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
20	19, 3	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		fzossfzop1 13878	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
23	22, 7	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24		pfxfv 14832	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
25	12, 5, 23, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
26		lencl 14678	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28		fz0add1fz1 13870	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
29	27, 3, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30		pfxfvlsw 14844	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
31	12, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
32	10, 11	pncand 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
33	32	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
34	31, 33	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
35	18, 25, 34	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   Po wpo 5557  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  lastSclsw 14707   prefix cpfx 14820   Chain cchn 18779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-chn 18780

This theorem is used by:  chnso  18798  chnpof1  18804  chnsubseq  47889