Theorem chnlt 32885

Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnlt.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
chnlt.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))

Assertion

Ref	Expression
chnlt	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
2		chnlt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
3		chnlt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4		fzofzp1 13778	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
6	2, 5	pfxchn 32882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain𝐴))
7		chnlt.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8		fzossz 13700	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
9	8, 3	sselid 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
11		1cnd 11250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	2	chnwrd 32880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		pfxlen 14686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
14	12, 5, 13	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
15	10, 11, 14	mvrraddd 11667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
16	15	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
17	7, 16	eleqtrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
18	1, 6, 17	chnub 32884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19		fzo0ssnn0 13761	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
20	19, 3	sselid 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		fzossfzop1 13758	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
23	22, 7	sseldd 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24		pfxfv 14685	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
25	12, 5, 23, 24	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
26		lencl 14536	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28		fz0add1fz1 13750	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
29	27, 3, 28	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30		pfxfvlsw 14698	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
31	12, 29, 30	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
32	10, 11	pncand 11613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
33	32	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
34	31, 33	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
35	18, 25, 34	3brtr3d 5176	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145   Po wpo 5584  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   − cmin 11485  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ...cfz 13532  ..^cfzo 13675  ♯chash 14342  Word cword 14517  lastSclsw 14565   prefix cpfx 14673  Chaincchn 32877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-lsw 14566  df-concat 14574  df-s1 14599  df-substr 14644  df-pfx 14674  df-chn 32878

This theorem is referenced by:  chnso  32886