Theorem chnlt 18674

Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnlt.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnlt.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))

Assertion

Ref	Expression
chnlt	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
2		chnlt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
3		chnlt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4		fzofzp1 13789	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
6	2, 5	pfxchn 18661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain 𝐴))
7		chnlt.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8		fzossz 13704	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
9	8, 3	sselid 3935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
11		1cnd 11197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	2	chnwrd 18659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		pfxlen 14717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
14	12, 5, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
15	10, 11, 14	mvrraddd 11621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
16	15	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
17	7, 16	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
18	1, 6, 17	chnub 18673	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19		fzo0ssnn0 13771	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
20	19, 3	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		fzossfzop1 13768	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
23	22, 7	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24		pfxfv 14716	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
25	12, 5, 23, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
26		lencl 14566	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28		fz0add1fz1 13760	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
29	27, 3, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30		pfxfvlsw 14728	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
31	12, 29, 30	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
32	10, 11	pncand 11565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
33	32	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
34	31, 33	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
35	18, 25, 34	3brtr3d 5142	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   Po wpo 5567  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  lastSclsw 14595   prefix cpfx 14704   Chain cchn 18656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-chn 18657

This theorem is referenced by:  chnso  18675  chnpof1  18681  chnsubseq  47596