Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chnlt 33004
Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
chnlt.1 (𝜑< Po 𝐴)
chnlt.2 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
chnlt.3 (𝜑𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐽))
Assertion
Ref Expression
chnlt (𝜑 → (𝐶𝐼) < (𝐶𝐽))

Proof of Theorem chnlt
StepHypRef Expression
1 chnlt.1 . . 3 (𝜑< Po 𝐴)
2 chnlt.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
3 chnlt.3 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4 fzofzp1 13804 . . . . 5 (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
62, 5pfxchn 33000 . . 3 (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain𝐴))
7 chnlt.4 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8 fzossz 13720 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
98, 3sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
109zcnd 12725 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
11 1cnd 11257 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
122chnwrd 32998 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝐴)
13 pfxlen 14722 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
1412, 5, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
1510, 11, 14mvrraddd 11676 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
1615oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
177, 16eleqtrrd 2843 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
181, 6, 17chnub 33003 . 2 (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19 fzo0ssnn0 13786 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
2019, 3sselid 3980 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
21 fzossfzop1 13783 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
2322, 7sseldd 3983 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24 pfxfv 14721 . . 3 ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶𝐼))
2512, 5, 23, 24syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶𝐼))
26 lencl 14572 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
2712, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28 fz0add1fz1 13775 . . . . 5 (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
2927, 3, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30 pfxfvlsw 14734 . . . 4 ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
3112, 29, 30syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
3210, 11pncand 11622 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
3332fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶𝐽))
3431, 33eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶𝐽))
3518, 25, 343brtr3d 5173 1 (𝜑 → (𝐶𝐼) < (𝐶𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950   class class class wbr 5142   Po wpo 5589  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  0cn0 12528  cz 12615  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553  lastSclsw 14601   prefix cpfx 14709  Chaincchn 32995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-chn 32996
This theorem is referenced by:  chnso  33005
  Copyright terms: Public domain W3C validator