Theorem chnlt 18678

Description: Compare any two elements in a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnlt.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnlt.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
chnlt.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))

Assertion

Ref	Expression
chnlt	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Proof of Theorem chnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
2		chnlt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
3		chnlt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
4		fzofzp1 13792	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)))
6	2, 5	pfxchn 18665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix (𝐽 + 1)) ∈ ( < Chain 𝐴))
7		chnlt.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐽))
8		fzossz 13707	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℤ
9	8, 3	sselid 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
11		1cnd 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
12	2	chnwrd 18663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
13		pfxlen 14720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
14	12, 5, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐽 + 1))
15	10, 11, 14	mvrraddd 11625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1) = 𝐽)
16	15	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)) = (0..^𝐽))
17	7, 16	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) − 1)))
18	1, 6, 17	chnub 18677	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) < (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))))
19		fzo0ssnn0 13774	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐶)) ⊆ ℕ0
20	19, 3	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
21		fzossfzop1 13771	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐽) ⊆ (0..^(𝐽 + 1)))
23	22, 7	sseldd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1)))
24		pfxfv 14719	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐽 + 1))) → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
25	12, 5, 23, 24	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 prefix (𝐽 + 1))‘𝐼) = (𝐶‘𝐼))
26		lencl 14569	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
28		fz0add1fz1 13763	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
29	27, 3, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶)))
30		pfxfvlsw 14731	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐽 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
31	12, 29, 30	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)))
32	10, 11	pncand 11569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
33	32	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘((𝐽 + 1) − 1)) = (𝐶‘𝐽))
34	31, 33	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (lastS‘(𝐶 prefix (𝐽 + 1))) = (𝐶‘𝐽))
35	18, 25, 34	3brtr3d 5146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐼) < (𝐶‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   Po wpo 5568  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549  lastSclsw 14598   prefix cpfx 14707   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnso  18679  chnpof1  18685  chnsubseq  47487