Theorem cmdfval2 50354

Description: The set of colimits of a diagram. (Contributed by Zhi Wang, 12-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cmdfval2	⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)

Proof of Theorem cmdfval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmdfval 50348	. . . 4 ⊢ (𝐶 Colimit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓))
2	1	mptrcl 7000	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4	3	fucbas 18020	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
5	4	uprcl 49882	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) → ((𝐶Δfunc𝐷) ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶)))
6	5	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
7		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
8		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) ∈ V
9	7, 1, 8	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
10	9	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)))
11	2, 6, 10	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
12	11	eqriv 2766	1 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   Func cfunc 17911   FuncCat cfuc 18002  Δ_funccdiag 18268   UP cup 49871   Colimit ccmd 50342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-func 17915  df-fuc 18004  df-up 49872  df-cmd 50344

This theorem is referenced by:  relcmd  50358  iscmd  50364  lmddu  50365  cmddu  50366  initocmd  50367  cmdlan  50370