Theorem cmdfval2 49649

Description: The set of colimits of a diagram. (Contributed by Zhi Wang, 12-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cmdfval2	⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)

Proof of Theorem cmdfval2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmdfval 49643	. . . 4 ⊢ (𝐶 Colimit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓))
2	1	mptrcl 6980	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4	3	fucbas 17932	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
5	4	uprcl 49177	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) → ((𝐶Δfunc𝐷) ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶)))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
7		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
8		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹) ∈ V
9	7, 1, 8	fvmpt 6971	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
10	9	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶) → (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)))
11	2, 6, 10	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) ↔ 𝑓 ∈ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹))
12	11	eqriv 2727	1 ⊢ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) = ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   Func cfunc 17823   FuncCat cfuc 17914  Δ_funccdiag 18180   UP cup 49166   Colimit ccmd 49637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-func 17827  df-fuc 17916  df-up 49167  df-cmd 49639

This theorem is referenced by:  relcmd  49653  iscmd  49659  lmddu  49660  cmddu  49661  initocmd  49662  cmdlan  49665