Theorem cnbn 31404

Description: The set of complex numbers is a complex Banach space. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnbn.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnbn	⊢ 𝑈 ∈ CBan

Proof of Theorem cnbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnbn.6	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2	1	cnnv 31212	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5	3, 4	cnims 31228	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
6	5	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = (abs ∘ − )
7	6	cncmet 25604	. 2 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ (CMet‘ℂ)
8	1	cnnvba 31214	. . 3 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)
9	1	fveq2i 6876	. . . 4 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
10	9	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = (IndMet‘𝑈)
11	8, 10	iscbn 31399	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan ↔ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ (CMet‘ℂ)))
12	2, 7, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑈 ∈ CBan

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4589   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  ℂcc 11169   + caddc 11174   · cmul 11176   − cmin 11512  abscabs 15368  CMetccmet 25536  NrmCVeccnv 31119  IndMetcims 31126  CBanccbn 31397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-cmp 23666  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-flim 24219  df-fcls 24221  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-cfil 25537  df-cmet 25539  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-gdiv 31031  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-vs 31134  df-nmcv 31135  df-ims 31136  df-cbn 31398

This theorem is used by:  ubth  31408  cnchl  31451