Theorem colperp 28248

Description: Deduce a perpendicularity from perpendicularity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperp.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
colperp.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colperp.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
colperp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Proof of Theorem colperp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		colperpex.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		colperpex.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		colperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		colperp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		colperp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8		colperp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9	3, 4, 8	perpln1 28229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
10		colperp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9	tglnne 28147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	tglinerflx1 28152	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13	11	neneqd 2944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
14		colperp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
15	14	orcomd 868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
16	15	ord 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 17	tglinethru 28155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝐶))
19	18, 8	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27946  Itvcitv 27952  LineGclng 27953  ⟂Gcperpg 28214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-trkgc 27967  df-trkgb 27968  df-trkgcb 27969  df-trkg 27972  df-cgrg 28030  df-perpg 28215

This theorem is referenced by:  trgcopy  28323