Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colperp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colperp 26038
 Description: Deduce a perpendicularity from perpendicularity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colperp.a (𝜑𝐴𝑃)
colperp.b (𝜑𝐵𝑃)
colperp.c (𝜑𝐶𝑃)
colperp.1 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
colperp.2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colperp.3 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
colperp (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Proof of Theorem colperp
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 colperpex.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 colperpex.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 colperp.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
6 colperp.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
7 colperp.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
8 colperp.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
93, 4, 8perpln1 26022 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
10 colperp.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
111, 2, 3, 4, 5, 10, 9tglnne 25940 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 10, 11tglinerflx1 25945 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
1311neneqd 3004 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
14 colperp.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
1514orcomd 904 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
1615ord 897 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
1713, 16mpd 15 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 17tglinethru 25948 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝐶))
1918, 8eqbrtrrd 4897 1 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  distcds 16314  TarskiGcstrkg 25742  Itvcitv 25748  LineGclng 25749  ⟂Gcperpg 26007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-s2 13969  df-s3 13970  df-trkgc 25760  df-trkgb 25761  df-trkgcb 25762  df-trkg 25765  df-cgrg 25823  df-perpg 26008 This theorem is referenced by:  trgcopy  26113
 Copyright terms: Public domain W3C validator