Theorem colperp 28707

Description: Deduce a perpendicularity from perpendicularity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperp.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
colperp.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colperp.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
colperp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Proof of Theorem colperp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		colperpex.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		colperpex.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		colperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		colperp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		colperp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8		colperp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9	3, 4, 8	perpln1 28688	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
10		colperp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9	tglnne 28606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	tglinerflx1 28611	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13	11	neneqd 2933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
14		colperp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
15	14	orcomd 871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
16	15	ord 864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 17	tglinethru 28614	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝐶))
19	18, 8	eqbrtrrd 5113	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411  LineGclng 28412  ⟂Gcperpg 28673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28426  df-trkgb 28427  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431  df-cgrg 28489  df-perpg 28674

This theorem is referenced by:  trgcopy  28782