Theorem colperp 29206

Description: Deduce a perpendicularity from perpendicularity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperp.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
colperp.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colperp.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
colperp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Proof of Theorem colperp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		colperpex.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		colperpex.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		colperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		colperp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		colperp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8		colperp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9	3, 4, 8	perpln1 29186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
10		colperp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9	tglnne 29097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	tglinerflx1 29102	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13	11	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
14		colperp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
15	14	orcomd 885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
16	15	ord 878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
17	13, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 17	tglinethru 29105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝐶))
19	18, 8	eqbrtrrd 5129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  LineGclng 28897  ⟂Gcperpg 29171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-perpg 29172

This theorem is used by:  trgcopy  29312