Theorem colperp 28674

Description: Deduce a perpendicularity from perpendicularity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colperp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
colperp.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
colperp.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colperp.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
colperp	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Proof of Theorem colperp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colperpex.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		colperpex.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		colperpex.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		colperpex.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		colperp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		colperp.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		colperp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
8		colperp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9	3, 4, 8	perpln1 28655	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
10		colperp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 10, 9	tglnne 28573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 11	tglinerflx1 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
13	11	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
14		colperp.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
15	14	orcomd 871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
16	15	ord 864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 17	tglinethru 28581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝐿𝐶))
19	18, 8	eqbrtrrd 5116	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐶)(⟂G‘𝐺)𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28372  Itvcitv 28378  LineGclng 28379  ⟂Gcperpg 28640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28393  df-trkgb 28394  df-trkgcb 28395  df-trkg 28398  df-cgrg 28456  df-perpg 28641

This theorem is referenced by:  trgcopy  28749