Theorem tglinethru 26997

Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.0	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
tglinethru.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglinethru	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8		simplrr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
9		tglineelsb2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		tglinethru.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
12	11	ad4antr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
13	12	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15	13, 14	neeqtrd 3013	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑥)
16		tglinethru.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	16	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
18		simplrl 774	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
19	17, 18	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19	tglineelsb2 26993	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
21	14	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
22	20, 18, 21	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23		simplrl 774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
24	4	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		simp-4r 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26		simpllr 773	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27		simplrr 775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
28		tglineelsb2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
29	28	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐵)
30		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
31		tglinethru.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
32	31	ad4antr 729	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	32, 23	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
34	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33	tglineelsb2 26993	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
35	30	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑃)
36	1, 2, 3, 24, 25, 29, 35	tglinecom 26996	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
37	23, 34, 36	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
38	9	ad4antr 729	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
39	11	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
40	39	necomd 2999	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
41	16	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
42	41, 37	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
43	1, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42	tglineelsb2 26993	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
44	37, 43	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
45	22, 44	pm2.61dane 3032	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46		tglinethru.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47	1, 2, 3, 4, 46	tgisline 26988	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
48	45, 47	r19.29vva 3266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-cgrg 26872

This theorem is referenced by:  tghilberti2  26999  tglineintmo  27003  colline  27010  tglowdim2ln  27012  mirln  27037  mirln2  27038  perpneq  27075  ragperp  27078  footexALT  27079  footexlem1  27080  perpdragALT  27088  perpdrag  27089  colperp  27090  opphllem1  27108  opphllem2  27109  opphllem3  27110  opphllem4  27111  opphllem5  27112  opphllem6  27113  oppperpex  27114  opphl  27115  hpgerlem  27126  colhp  27131  lmiisolem  27157  acopy  27194  acopyeu  27195