Theorem tglinethru 28871

Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.0	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
tglinethru.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglinethru	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpllr 787	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8		simplrr 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
9		tglineelsb2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		tglinethru.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
12	11	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
13	12	necomd 3019	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15	13, 14	neeqtrd 3033	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑥)
16		tglinethru.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	16	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
18		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
19	17, 18	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19	tglineelsb2 28867	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
21	14	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
22	20, 18, 21	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23		simplrl 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
24	4	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		simp-4r 795	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
28		tglineelsb2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
29	28	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐵)
30		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
31		tglinethru.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
32	31	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	32, 23	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
34	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33	tglineelsb2 28867	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
35	30	necomd 3019	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑃)
36	1, 2, 3, 24, 25, 29, 35	tglinecom 28870	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
37	23, 34, 36	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
38	9	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
39	11	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
40	39	necomd 3019	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
41	16	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
42	41, 37	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
43	1, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42	tglineelsb2 28867	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
44	37, 43	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
45	22, 44	pm2.61dane 3051	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46		tglinethru.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47	1, 2, 3, 4, 46	tgisline 28862	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
48	45, 47	r19.29vva 3231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  TarskiGcstrkg 28662  Itvcitv 28668  LineGclng 28669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-trkgc 28683  df-trkgb 28684  df-trkgcb 28685  df-trkg 28688  df-cgrg 28746

This theorem is referenced by:  tghilberti2  28873  tglinesseq  28875  tglineintmo  28877  colline  28885  tglowdim2ln  28887  tglnpt3  28889  mirln  28915  mirln2  28916  perpneq  28953  ragperp  28956  footexALT  28957  footexlem1  28958  perpdragALT  28967  perpdrag  28968  colperp  28969  opphllem1  28987  opphllem2  28988  opphllem3  28989  opphllem4  28990  opphllem5  28991  opphllem6  28992  oppperpex  28993  opphl  28994  hpgerlem  29006  colhp  29011  lnincplng  29024  lnssplnglem  29031  lmiisolem  29063  acopy  29101  acopyeu  29102  perpeqlem  29105  prlnghpg  29151  perpprlng  29153  prlngex  29154  prlngmolem1  29155