Theorem tglinethru 28723

Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.0	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
tglinethru.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglinethru	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpllr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8		simplrr 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
9		tglineelsb2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		tglinethru.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
12	11	ad4antr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
13	12	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15	13, 14	neeqtrd 3003	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑥)
16		tglinethru.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	16	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
18		simplrl 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
19	17, 18	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19	tglineelsb2 28719	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
21	14	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
22	20, 18, 21	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23		simplrl 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
24	4	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		simp-4r 789	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26		simpllr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27		simplrr 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
28		tglineelsb2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
29	28	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐵)
30		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
31		tglinethru.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
32	31	ad4antr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	32, 23	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
34	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33	tglineelsb2 28719	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
35	30	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑃)
36	1, 2, 3, 24, 25, 29, 35	tglinecom 28722	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
37	23, 34, 36	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
38	9	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
39	11	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
40	39	necomd 2989	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
41	16	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
42	41, 37	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
43	1, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42	tglineelsb2 28719	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
44	37, 43	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
45	22, 44	pm2.61dane 3021	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46		tglinethru.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47	1, 2, 3, 4, 46	tgisline 28714	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
48	45, 47	r19.29vva 3199	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520  LineGclng 28521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-s2 14802  df-s3 14803  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-cgrg 28598

This theorem is referenced by:  tghilberti2  28725  tglineintmo  28729  colline  28736  tglowdim2ln  28738  mirln  28763  mirln2  28764  perpneq  28801  ragperp  28804  footexALT  28805  footexlem1  28806  perpdragALT  28814  perpdrag  28815  colperp  28816  opphllem1  28834  opphllem2  28835  opphllem3  28836  opphllem4  28837  opphllem5  28838  opphllem6  28839  oppperpex  28840  opphl  28841  hpgerlem  28852  colhp  28857  lmiisolem  28883  acopy  28920  acopyeu  28921