MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglinethru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglinethru 26433
Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.0 (𝜑𝑃𝑄)
tglinethru.1 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2 (𝜑𝑃𝐴)
tglinethru.3 (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
tglinethru (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simp-4r 783 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝐵)
7 simpllr 775 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦𝐵)
8 simplrr 777 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥𝑦)
9 tglineelsb2.2 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
109ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐵)
11 tglinethru.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
1211ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃𝑄)
1312necomd 3069 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑃)
14 simpr 488 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
1513, 14neeqtrd 3083 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝑥)
16 tglinethru.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐴)
1716ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄𝐴)
18 simplrl 776 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
1917, 18eleqtrd 2918 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
201, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19tglineelsb2 26429 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
2114oveq1d 7164 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
2220, 18, 213eqtr4d 2869 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23 simplrl 776 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
244ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25 simp-4r 783 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝐵)
26 simpllr 775 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑦𝐵)
27 simplrr 777 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑦)
28 tglineelsb2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
2928ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐵)
30 simpr 488 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑥)
31 tglinethru.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐴)
3231ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝐴)
3332, 23eleqtrd 2918 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
341, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33tglineelsb2 26429 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
3530necomd 3069 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥𝑃)
361, 2, 3, 24, 25, 29, 35tglinecom 26432 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
3723, 34, 363eqtrd 2863 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
389ad4antr 731 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐵)
3911ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑄)
4039necomd 3069 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝑃)
4116ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄𝐴)
4241, 37eleqtrd 2918 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
431, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42tglineelsb2 26429 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
4437, 43eqtrd 2859 . . 3 (((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
4522, 44pm2.61dane 3101 . 2 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46 tglinethru.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
471, 2, 3, 4, 46tgisline 26424 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
4845, 47r19.29vva 3327 1 (𝜑𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  LineGclng 26234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308
This theorem is referenced by:  tghilberti2  26435  tglineintmo  26439  colline  26446  tglowdim2ln  26448  mirln  26473  mirln2  26474  perpneq  26511  ragperp  26514  footexALT  26515  footexlem1  26516  perpdragALT  26524  perpdrag  26525  colperp  26526  opphllem1  26544  opphllem2  26545  opphllem3  26546  opphllem4  26547  opphllem5  26548  opphllem6  26549  oppperpex  26550  opphl  26551  hpgerlem  26562  colhp  26567  lmiisolem  26593  acopy  26630  acopyeu  26631
  Copyright terms: Public domain W3C validator