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Theorem coprmproddvdslem 16596
Description: Lemma for coprmproddvds 16597: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvdslem ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝐾,𝑦,𝑧   𝑦,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑛)
Proof of Theorem coprmproddvdslem
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘š((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
2 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘§)
3 simpll 766 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4 unss 4184 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•)
5 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
65snss 4789 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„• ↔ {𝑧} βŠ† β„•)
76biimpri 227 . . . . . . . . 9 ({𝑧} βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
94, 8sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
109adantr 482 . . . . . 6 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
1110adantl 483 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
12 simplr 768 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
13 simprrr 781 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
15 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
164, 15sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
1918sselda 3982 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ π‘š ∈ β„•)
2014, 19ffvelcdmd 7085 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
2120nncnd 12225 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
22 fveq2 6889 . . . . 5 (π‘š = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘§))
2313, 11ffvelcdmd 7085 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
2423nncnd 12225 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
251, 2, 3, 11, 12, 21, 22, 24fprodsplitsn 15930 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
2625ad2ant2r 746 . . 3 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
27 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
28 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
3117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
3231sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ π‘š ∈ β„•)
3330, 32ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
3427, 33fprodnncl 15896 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
3534ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•))
3736com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•))
3837adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•))
3938imp 408 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
4039nnzd 12582 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€)
4128, 10ffvelcdmd 7085 . . . . . . . 8 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
4241nnzd 12582 . . . . . . 7 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
4342adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
4443adantl 483 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
45 nnz 12576 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4746adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4847adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
4948adantl 483 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
5040, 44, 493jca 1129 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
51 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
529adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
5351, 52ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
5453ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
5554adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
5655impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
583, 18, 573jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 βŠ† β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
5958adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 βŠ† β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
6013adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
61 vsnid 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝑧}
6261olci 865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧})
63 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧}))
6462, 63mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
66 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ 𝑦 β†’ {π‘š} βŠ† 𝑦)
6766ssneld 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ 𝑦 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {π‘š}))
6867com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {π‘š}))
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (π‘š ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {π‘š}))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (π‘š ∈ 𝑦 β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {π‘š}))
7170imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {π‘š})
7265, 71eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
73 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘§))
7473oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)))
7574eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
7675rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
7877ralimdva 3168 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
79 ralunb 4191 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ {𝑧}βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
8079simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8178, 80impel 507 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
82 raldifb 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
83 ralunb 4191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ (βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ∧ βˆ€π‘› ∈ {𝑧} (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
84 raldifb 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8584biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8685adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ∧ βˆ€π‘› ∈ {𝑧} (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8783, 86sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8882, 87sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
8988ralimi 3084 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ {𝑧}βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
9179, 90sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
9291adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
93 coprmprod 16595 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 βŠ† β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
9493imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 βŠ† β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
9559, 60, 81, 92, 94syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
9695ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
9796adantrd 493 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
9897expimpd 455 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
9998adantr 482 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1))
10099imp 408 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
10183simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
10282, 101sylbir 234 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
103102ralimi 3084 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
104103adantr 482 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ {𝑧}βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
10579, 104sylbi 216 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
106 ralunb 4191 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ∧ βˆ€π‘š ∈ {𝑧} (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
107106simplbi 499 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
10884ralbii 3094 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)
109108anbi1i 625 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
11017adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
111 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
112 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
113110, 111, 112jca32 517 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
114 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
115 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
116113, 114, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
117116exp31 421 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
118117com24 95 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
119118imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
120119imp 408 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
121109, 120biimtrid 241 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ 𝑦 (𝑛 βˆ‰ {π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
122105, 107, 121syl2ani 608 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
123122impr 456 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
12422breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾))
125124rspcv 3609 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 β†’ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾))
12664, 125ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 β†’ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾)
127126adantl 483 . . . . . 6 ((βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾)
128127adantl 483 . . . . 5 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾)
129128adantl 483 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾)
130 coprmdvds2 16588 . . . . 5 (((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) ∧ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1) β†’ ((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) βˆ₯ 𝐾))
131130imp 408 . . . 4 ((((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) ∧ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1) ∧ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘§) βˆ₯ 𝐾)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) βˆ₯ 𝐾)
13250, 100, 123, 129, 131syl22anc 838 . . 3 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) βˆ₯ 𝐾)
13326, 132eqbrtrd 5170 . 2 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
134133exp31 421 1 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  1c1 11108   Β· cmul 11112  β„•cn 12209  β„€cz 12555  βˆcprod 15846   βˆ₯ cdvds 16194   gcd cgcd 16432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-prod 15847  df-dvds 16195  df-gcd 16433
This theorem is referenced by:  coprmproddvds  16597
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