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Theorem coprmproddvdslem 16538
Description: Lemma for coprmproddvds 16539: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvdslem ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝑚,𝐾,𝑦,𝑧   𝑦,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem coprmproddvdslem
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . 5 𝑚((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)))
2 nfcv 2907 . . . . 5 𝑚(𝐹𝑧)
3 simpll 765 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝑦 ∈ Fin)
4 unss 4144 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ {𝑧} ⊆ ℕ) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ)
5 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
65snss 4746 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ ↔ {𝑧} ⊆ ℕ)
76biimpri 227 . . . . . . . . 9 ({𝑧} ⊆ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ {𝑧} ⊆ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
94, 8sylbir 234 . . . . . . 7 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
109adantr 481 . . . . . 6 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → 𝑧 ∈ ℕ)
1110adantl 482 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝑧 ∈ ℕ)
12 simplr 767 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ¬ 𝑧𝑦)
13 simprrr 780 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
15 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ {𝑧} ⊆ ℕ) → 𝑦 ⊆ ℕ)
164, 15sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ → 𝑦 ⊆ ℕ)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → 𝑦 ⊆ ℕ)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
1918sselda 3944 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 ∈ ℕ)
2014, 19ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → (𝐹𝑚) ∈ ℕ)
2120nncnd 12169 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
22 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑚 = 𝑧 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑧))
2313, 11ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ)
2423nncnd 12169 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
251, 2, 3, 11, 12, 21, 22, 24fprodsplitsn 15872 . . . 4 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) = (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) · (𝐹𝑧)))
2625ad2ant2r 745 . . 3 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) = (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) · (𝐹𝑧)))
27 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
3117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ⊆ ℕ)
3231sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑚 ∈ ℕ)
3330, 32ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ 𝑚𝑦) → (𝐹𝑚) ∈ ℕ)
3427, 33fprodnncl 15838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ)
3534ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ))
3736com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ))
3837adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ))
3938imp 407 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℕ)
4039nnzd 12526 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℤ)
4128, 10ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ)
4241nnzd 12526 . . . . . . 7 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
4342adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
4443adantl 482 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
45 nnz 12520 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4746adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4847adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4948adantl 482 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5040, 44, 493jca 1128 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
51 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
529adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
5351, 52ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ)
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℕ⟶ℕ → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ → (𝐹𝑧) ∈ ℕ))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ → (𝐹𝑧) ∈ ℕ))
5655impcom 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝐹𝑧) ∈ ℕ)
583, 18, 573jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℕ))
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → (𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℕ))
6013adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
61 vsnid 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝑧}
6261olci 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑦𝑧 ∈ {𝑧})
63 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑧𝑦𝑧 ∈ {𝑧}))
6462, 63mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
66 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚𝑦 → {𝑚} ⊆ 𝑦)
6766ssneld 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚𝑦 → (¬ 𝑧𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ {𝑚}))
6867com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑦 → (𝑚𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ {𝑚}))
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝑚𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ {𝑚}))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝑚𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ {𝑚}))
7170imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ {𝑚})
7265, 71eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → 𝑧 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚}))
73 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑧 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑧))
7473oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑧 → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)))
7574eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑧 → (((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
7675rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚}) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
7772, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ 𝑚𝑦) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
7877ralimdva 3164 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦 ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
79 ralunb 4151 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑧}∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
8079simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8178, 80impel 506 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑚𝑦 ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1)
82 raldifb 4104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ↔ ∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
83 ralunb 4151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ↔ (∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑧} (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)))
84 raldifb 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8584biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑧} (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)) → ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8783, 86sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8882, 87sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
8988ralimi 3086 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑧}∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
9179, 90sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
9291adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
93 coprmprod 16537 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℕ) ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚𝑦 ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1) → (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
9493imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℕ) ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ ∀𝑚𝑦 ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1) ∧ ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1)
9559, 60, 81, 92, 94syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1)
9695ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
9796adantrd 492 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ((∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
9897expimpd 454 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
9998adantr 481 . . . . 5 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1))
10099imp 407 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1)
10183simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
10282, 101sylbir 234 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
103102ralimi 3086 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
104103adantr 481 . . . . . . 7 ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑧}∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) → ∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
10579, 104sylbi 216 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 → ∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
106 ralunb 4151 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ (∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑧} (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
107106simplbi 498 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾 → ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
10884ralbii 3096 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ↔ ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1)
109108anbi1i 624 . . . . . . 7 ((∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
11017adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
111 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝐾 ∈ ℕ)
112 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
113110, 111, 112jca32 516 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)))
114 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
115 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
116113, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
117116exp31 420 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
118117com24 95 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
119118imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) → ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
120119imp 407 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ((∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
121109, 120biimtrid 241 . . . . . 6 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ((∀𝑚𝑦𝑛𝑦 (𝑛 ∉ {𝑚} → ((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1) ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
122105, 107, 121syl2ani 607 . . . . 5 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))) → ((∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
123122impr 455 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
12422breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑧 → ((𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ (𝐹𝑧) ∥ 𝐾))
125124rspcv 3577 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾 → (𝐹𝑧) ∥ 𝐾))
12664, 125ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾 → (𝐹𝑧) ∥ 𝐾)
127126adantl 482 . . . . . 6 ((∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → (𝐹𝑧) ∥ 𝐾)
128127adantl 482 . . . . 5 ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → (𝐹𝑧) ∥ 𝐾)
129128adantl 482 . . . 4 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → (𝐹𝑧) ∥ 𝐾)
130 coprmdvds2 16530 . . . . 5 (((∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1) → ((∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ∧ (𝐹𝑧) ∥ 𝐾) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) · (𝐹𝑧)) ∥ 𝐾))
131130imp 407 . . . 4 ((((∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑧)) = 1) ∧ (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ∧ (𝐹𝑧) ∥ 𝐾)) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) · (𝐹𝑧)) ∥ 𝐾)
13250, 100, 123, 129, 131syl22anc 837 . . 3 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → (∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) · (𝐹𝑧)) ∥ 𝐾)
13326, 132eqbrtrd 5127 . 2 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ∧ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
134133exp31 420 1 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3049  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  cz 12499  cprod 15788  cdvds 16136   gcd cgcd 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  coprmproddvds  16539
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