Theorem 2exp11 17166

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12808	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12327	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12538	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12533	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14153	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2788	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17165	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14249	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7428	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12532	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12535	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12536	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12534	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12842	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11229	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12375	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12799	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12788	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12845	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11229	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12792	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12337	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11409	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12787	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12343	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12846	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11229	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12792	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2788	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  8c8 12312  ℕ₀cn0 12515  ;cdc 12722  ↑cexp 14110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  42855  m11nprm  48386