MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp11 17127
Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2exp11 (2↑11) = 2048

Proof of Theorem 2exp11
StepHypRef Expression
1 8p3e11 12814 . . . . 5 (8 + 3) = 11
21eqcomi 2746 . . . 4 11 = (8 + 3)
32oveq2i 7442 . . 3 (2↑11) = (2↑(8 + 3))
4 2cn 12341 . . . 4 2 ∈ ℂ
5 8nn0 12549 . . . 4 8 ∈ ℕ0
6 3nn0 12544 . . . 4 3 ∈ ℕ0
7 expadd 14145 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
84, 5, 6, 7mp3an 1463 . . 3 (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
93, 8eqtri 2765 . 2 (2↑11) = ((2↑8) · (2↑3))
10 2exp8 17126 . . . 4 (2↑8) = 256
11 cu2 14239 . . . 4 (2↑3) = 8
1210, 11oveq12i 7443 . . 3 ((2↑8) · (2↑3)) = (256 · 8)
13 2nn0 12543 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12748 . . . 4 25 ∈ ℕ0
16 6nn0 12547 . . . 4 6 ∈ ℕ0
17 eqid 2737 . . . 4 256 = 256
18 4nn0 12545 . . . 4 4 ∈ ℕ0
19 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2013, 19deccl 12748 . . . . 5 20 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . . . 6 25 = 25
22 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
23 8cn 12363 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
24 8t2e16 12848 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2523, 4, 24mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 8) = 16
26 1p1e2 12391 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
27 6p4e10 12805 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
2822, 16, 18, 25, 26, 19, 27decaddci 12794 . . . . . 6 ((2 · 8) + 4) = 20
29 5cn 12354 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
30 8t5e40 12851 . . . . . . 7 (8 · 5) = 40
3123, 29, 30mulcomli 11270 . . . . . 6 (5 · 8) = 40
325, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31decmul1c 12798 . . . . 5 (25 · 8) = 200
33 4cn 12351 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
3433addlidi 11449 . . . . 5 (0 + 4) = 4
3520, 19, 18, 32, 34decaddi 12793 . . . 4 ((25 · 8) + 4) = 204
36 6cn 12357 . . . . 5 6 ∈ ℂ
37 8t6e48 12852 . . . . 5 (8 · 6) = 48
3823, 36, 37mulcomli 11270 . . . 4 (6 · 8) = 48
395, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38decmul1c 12798 . . 3 (256 · 8) = 2048
4012, 39eqtri 2765 . 2 ((2↑8) · (2↑3)) = 2048
419, 40eqtri 2765 1 (2↑11) = 2048
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42056  m11nprm  47588
  Copyright terms: Public domain W3C validator