Theorem 2exp11 43073

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 11987	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2781	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6981	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 11508	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 11725	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 11720	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 13279	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1440	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2796	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 16269	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 13371	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6982	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 11719	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 11722	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 11919	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 11723	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 11721	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 11717	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 11919	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 11718	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 11535	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12021	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 10441	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 11565	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 11978	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 11966	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 11523	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12024	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 10441	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 11971	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 11519	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addid2i 10620	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 11965	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 11527	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12025	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 10441	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 11971	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2796	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2796	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  2c2 11488  3c3 11489  4c4 11490  5c5 11491  6c6 11492  8c8 11494  ℕ₀cn0 11700  ;cdc 11904  ↑cexp 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-seq 13178  df-exp 13238

This theorem is referenced by:  m11nprm  43074