Theorem 2exp11 17020

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12755	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7417	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12284	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12492	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12487	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14067	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1462	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2761	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17019	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14161	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7418	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12689	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12490	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12488	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12484	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12689	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12485	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11220	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12334	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12746	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12735	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12297	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12792	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11220	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12739	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12294	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11399	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12734	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12300	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12793	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11220	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12739	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2761	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  6c6 12268  8c8 12270  ℕ₀cn0 12469  ;cdc 12674  ↑cexp 14024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40909  m11nprm  46256