Theorem 2exp11 17001

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12669	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12200	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12404	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12399	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14011	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17000	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14107	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7358	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12401	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12402	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12400	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12396	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12603	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11121	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12245	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12660	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12649	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12213	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12706	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11121	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12653	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12210	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11301	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12648	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12216	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12707	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11121	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12653	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2754	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  6c6 12184  8c8 12186  ℕ₀cn0 12381  ;cdc 12588  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42094  m11nprm  47638