Theorem 2exp11 17116

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12768	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7402	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12287	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12498	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12493	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14111	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1481	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2784	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17115	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14207	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7403	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12496	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12494	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12490	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11185	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12335	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12759	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12748	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12805	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11185	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12752	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11365	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12747	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12303	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12806	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11185	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12752	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2784	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  ℕ₀cn0 12475  ;cdc 12682  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42633  m11nprm  48171