Theorem 2exp11 17060

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12730	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12261	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12465	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12460	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14069	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2752	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17059	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14165	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7399	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12462	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12463	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12457	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12283	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12764	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11183	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12306	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12721	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12710	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12767	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11183	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12714	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12271	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11362	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12277	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12768	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11183	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12714	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2752	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42043  m11nprm  47602