Theorem 2exp11 17145

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12793	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12312	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12523	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12518	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14136	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1487	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2792	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17144	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14232	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12722	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12521	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12515	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12722	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12827	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11214	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12360	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12784	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12773	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12830	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11214	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12777	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12322	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11394	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12772	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12328	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12831	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11214	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12777	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2792	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42707  m11nprm  48235