Theorem 2exp11 17181

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12822	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12551	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14168	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2783	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17180	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14264	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12549	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12547	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12362	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11242	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12388	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12813	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12802	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12859	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11242	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12806	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11422	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12801	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12356	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12860	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11242	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12806	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2783	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ℕ₀cn0 12528  ;cdc 12736  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  42921  m11nprm  48504