Theorem 2exp11 17311

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12940	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12458	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12669	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12664	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14287	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17310	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14383	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7463	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12666	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12665	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12661	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12662	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12480	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12974	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11357	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12506	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12931	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12920	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12977	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12924	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11537	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12474	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12978	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11357	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12924	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2786	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  8c8 12443  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43371  m11nprm  48959