Theorem 2exp11 16840

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12568	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7318	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12098	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12306	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12301	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 13875	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1461	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2764	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 16839	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 13967	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7319	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12300	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12303	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12502	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12304	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12302	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12298	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12502	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12299	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12120	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12602	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11034	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12148	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12559	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12548	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12111	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12605	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11034	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12552	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12108	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addid2i 11213	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12547	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12114	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12606	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11034	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12552	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2764	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921  1c1 10922   + caddc 10924   · cmul 10926  2c2 12078  3c3 12079  4c4 12080  5c5 12081  6c6 12082  8c8 12084  ℕ₀cn0 12283  ;cdc 12487  ↑cexp 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-seq 13772  df-exp 13833

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40263  m11nprm  45297