Theorem 2exp11 17030

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12759	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7415	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12288	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12496	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12491	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14073	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17029	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14167	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7416	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12693	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12494	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12492	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11224	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12338	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12750	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12739	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12796	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11224	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12743	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12298	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11403	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12304	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12797	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11224	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12743	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2754	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  5c5 12271  6c6 12272  8c8 12274  ℕ₀cn0 12473  ;cdc 12678  ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  41434  m11nprm  46822