Theorem 2exp11 17150

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12798	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12317	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12528	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12523	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14142	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17149	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14238	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7424	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12526	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12524	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12832	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11219	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12365	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12789	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12778	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12835	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11219	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12782	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11399	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12777	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12333	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12836	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11219	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12782	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2786	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42803  m11nprm  48336