Theorem 2exp11 16802

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12529	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7283	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12059	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12267	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12262	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 13836	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2768	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 16801	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 13928	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7284	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12261	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12264	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12265	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12263	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12463	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12260	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12081	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 10995	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12109	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12520	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12509	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12072	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12566	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 10995	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12513	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12069	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addid2i 11174	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12508	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12075	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12567	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 10995	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12513	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2768	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887  2c2 12039  3c3 12040  4c4 12041  5c5 12042  6c6 12043  8c8 12045  ℕ₀cn0 12244  ;cdc 12448  ↑cexp 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-seq 13733  df-exp 13794

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40072  m11nprm  45032