Theorem 2exp11 17003

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12675	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7363	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12207	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12411	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12406	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14013	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2756	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17002	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14109	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7364	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12405	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12609	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12409	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12407	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12403	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12609	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12404	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12229	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11128	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12252	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12666	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12655	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12220	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12712	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11128	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12659	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12217	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11308	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12654	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12223	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12713	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11128	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12659	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2756	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  6c6 12191  8c8 12193  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42169  m11nprm  47726