Theorem 2exp11 17019

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12690	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12221	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12425	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12420	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14029	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2752	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17018	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14125	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7365	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12624	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12423	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12421	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12624	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11143	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12266	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12681	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12670	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12234	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12727	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11143	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12674	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12231	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11322	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12669	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12237	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12728	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11143	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12674	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2752	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  8c8 12207  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42031  m11nprm  47589