Theorem 2exp11 17137

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12839	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12576	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12571	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14155	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1461	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2768	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17136	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14249	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7460	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12573	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12574	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12572	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12390	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12873	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11299	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12418	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12830	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12819	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12381	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12876	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12823	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12378	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11478	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12384	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12877	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11299	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12823	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2768	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42012  m11nprm  47475