Theorem 2exp11 17273

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12904	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7432	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12633	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12628	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14251	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2783	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17272	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14347	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7433	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12630	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12631	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12629	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12625	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12833	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12938	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11322	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12470	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12895	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12884	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12435	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12941	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11322	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12888	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12432	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11502	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12883	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12438	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12942	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11322	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12888	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2783	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  8c8 12407  ℕ₀cn0 12610  ;cdc 12818  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43199  m11nprm  48780