Theorem 2exp11 17260

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12893	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7429	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12411	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12622	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12617	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14240	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2784	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17259	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14336	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7430	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12619	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12620	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12618	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12614	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12615	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12927	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11311	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12459	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12884	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12873	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12930	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11311	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12877	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12421	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11491	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12427	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12931	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11311	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12877	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2784	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  ℕ₀cn0 12599  ;cdc 12807  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  43085  m11nprm  48655