Theorem 2exp11 17060

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12725	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7378	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12256	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12460	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12455	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14066	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2759	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17059	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14162	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7379	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12458	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12659	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12278	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11154	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12301	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12716	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12705	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12269	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12762	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11154	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12709	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12266	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11334	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12704	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12272	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12763	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11154	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12709	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2759	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  8c8 12242  ℕ₀cn0 12437  ;cdc 12644  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42494  m11nprm  48064