Theorem 2exp11 43785

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12180	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2830	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7167	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 11713	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 11921	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 11916	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 13472	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2844	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 16423	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 13564	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7168	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 11918	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 11919	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 11917	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 11913	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 11914	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 11735	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12214	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 10650	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 11763	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12171	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12160	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 11726	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12217	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 10650	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12164	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 11723	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addid2i 10828	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12159	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 11729	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12218	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 10650	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12164	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2844	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2844	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  8c8 11699  ℕ₀cn0 11898  ;cdc 12099  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  m11nprm  43786