Theorem 2exp11 16772

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12500	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7279	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12031	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12239	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12234	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 13806	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1459	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2767	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 16771	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 13898	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7280	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12233	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12236	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12237	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12235	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12231	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12434	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12232	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12053	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 10968	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12081	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12491	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12480	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12044	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12537	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 10968	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12484	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12041	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addid2i 11146	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12479	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12047	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12538	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 10968	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12484	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2767	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2767	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  8c8 12017  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419  ↑cexp 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  40043  m11nprm  45005