Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2exp11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp11 44044
 Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2exp11 (2↑11) = 2048

Proof of Theorem 2exp11
StepHypRef Expression
1 8p3e11 12176 . . . . 5 (8 + 3) = 11
21eqcomi 2833 . . . 4 11 = (8 + 3)
32oveq2i 7160 . . 3 (2↑11) = (2↑(8 + 3))
4 2cn 11709 . . . 4 2 ∈ ℂ
5 8nn0 11917 . . . 4 8 ∈ ℕ0
6 3nn0 11912 . . . 4 3 ∈ ℕ0
7 expadd 13476 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
84, 5, 6, 7mp3an 1458 . . 3 (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
93, 8eqtri 2847 . 2 (2↑11) = ((2↑8) · (2↑3))
10 2exp8 16423 . . . 4 (2↑8) = 256
11 cu2 13568 . . . 4 (2↑3) = 8
1210, 11oveq12i 7161 . . 3 ((2↑8) · (2↑3)) = (256 · 8)
13 2nn0 11911 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11914 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 12110 . . . 4 25 ∈ ℕ0
16 6nn0 11915 . . . 4 6 ∈ ℕ0
17 eqid 2824 . . . 4 256 = 256
18 4nn0 11913 . . . 4 4 ∈ ℕ0
19 0nn0 11909 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2013, 19deccl 12110 . . . . 5 20 ∈ ℕ0
21 eqid 2824 . . . . . 6 25 = 25
22 1nn0 11910 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
23 8cn 11731 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
24 8t2e16 12210 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2523, 4, 24mulcomli 10648 . . . . . . 7 (2 · 8) = 16
26 1p1e2 11759 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
27 6p4e10 12167 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
2822, 16, 18, 25, 26, 19, 27decaddci 12156 . . . . . 6 ((2 · 8) + 4) = 20
29 5cn 11722 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
30 8t5e40 12213 . . . . . . 7 (8 · 5) = 40
3123, 29, 30mulcomli 10648 . . . . . 6 (5 · 8) = 40
325, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31decmul1c 12160 . . . . 5 (25 · 8) = 200
33 4cn 11719 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
3433addid2i 10826 . . . . 5 (0 + 4) = 4
3520, 19, 18, 32, 34decaddi 12155 . . . 4 ((25 · 8) + 4) = 204
36 6cn 11725 . . . . 5 6 ∈ ℂ
37 8t6e48 12214 . . . . 5 (8 · 6) = 48
3823, 36, 37mulcomli 10648 . . . 4 (6 · 8) = 48
395, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38decmul1c 12160 . . 3 (256 · 8) = 2048
4012, 39eqtri 2847 . 2 ((2↑8) · (2↑3)) = 2048
419, 40eqtri 2847 1 (2↑11) = 2048
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  5c5 11692  6c6 11693  8c8 11695  ℕ0cn0 11894  ;cdc 12095  ↑cexp 13434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-seq 13374  df-exp 13435 This theorem is referenced by:  m11nprm  44045
 Copyright terms: Public domain W3C validator