Theorem 2exp11 17127

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12814	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12549	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12544	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14145	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2765	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17126	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14239	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12547	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12363	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12848	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11270	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12391	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12805	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12794	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12354	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12851	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11270	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12798	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12351	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11449	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12793	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12357	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12852	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11270	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12798	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2765	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42056  m11nprm  47588