Theorem 2exp11 17062

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12791	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2734	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12320	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12528	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12523	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14105	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2753	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17061	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14199	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12725	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12526	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12524	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12725	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12825	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11255	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12370	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12782	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12771	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12828	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11255	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12775	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12330	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11434	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12770	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12336	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12829	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11255	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12775	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2753	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  8c8 12306  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12710  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  41655  m11nprm  47075