Theorem 2exp11 17064

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12794	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2736	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7435	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12323	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12531	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12526	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14107	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2755	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17063	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14201	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7436	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12528	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12728	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12529	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12527	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12728	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12828	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11259	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12373	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12785	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12774	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12831	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11259	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12778	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12333	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11438	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12773	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12339	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12832	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11259	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12778	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2755	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2755	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  8c8 12309  ℕ₀cn0 12508  ;cdc 12713  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  41530  m11nprm  46943