Theorem 2exp11 17124

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12812	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12547	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12542	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14142	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2763	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17123	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14236	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12543	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12389	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12803	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12792	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12849	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12796	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11447	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12355	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12850	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11268	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12796	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2763	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2763	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42037  m11nprm  47526