Theorem 2exp11 17067

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 12737	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 12472	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 12467	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 14076	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2753	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 17066	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 14172	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 12470	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 12468	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 12728	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 12717	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 12774	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 11190	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 12721	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 12278	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 11369	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 12716	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 12284	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 12775	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 11190	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 12721	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2753	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  8c8 12254  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  42050  m11nprm  47606