| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | pzriprng.r |
. . . . . . 7
⊢ 𝑅 = (ℤring
×s ℤring) |
| 2 | 1 | pzriprnglem2 21493 |
. . . . . 6
⊢
(Base‘𝑅) =
(ℤ × ℤ) |
| 3 | 2 | eleq2i 2833 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ ×
ℤ)) |
| 4 | | elxp2 5709 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ×
ℤ) ↔ ∃𝑎
∈ ℤ ∃𝑏
∈ ℤ 𝑥 =
〈𝑎, 𝑏〉) |
| 5 | 3, 4 | bitri 275 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) |
| 6 | | pzriprng.i |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (ℤ ×
{0}) |
| 7 | 1, 6 | pzriprnglem3 21494 |
. . . 4
⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) |
| 8 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈
ℤ) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈
ℤ) |
| 10 | 8, 9 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ) |
| 11 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈
ℂ) |
| 12 | 11 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℂ) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℂ) |
| 14 | 13 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) =
0) |
| 15 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 · 0) ∈
V |
| 16 | 15 | elsn 4641 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏 · 0) ∈ {0} ↔
(𝑏 · 0) =
0) |
| 17 | 14, 16 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈
{0}) |
| 18 | 10, 17 | opelxpd 5724 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0})) |
| 19 | 9, 8 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
| 20 | 13 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) =
0) |
| 21 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0
· 𝑏) ∈
V |
| 22 | 21 | elsn 4641 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
· 𝑏) ∈ {0}
↔ (0 · 𝑏) =
0) |
| 23 | 20, 22 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) ∈
{0}) |
| 24 | 19, 23 | opelxpd 5724 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉 ∈ (ℤ ×
{0})) |
| 25 | | zringbas 21464 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ℤ =
(Base‘ℤring) |
| 26 | | zringring 21460 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
ℤring ∈ Ring |
| 27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
ℤring ∈ Ring) |
| 28 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℤ) |
| 29 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 0 ∈
ℤ) |
| 30 | 28, 29 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈
ℤ) |
| 31 | | zringmulr 21468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ·
= (.r‘ℤring) |
| 32 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(.r‘𝑅) = (.r‘𝑅) |
| 33 | 1, 25, 25, 27, 27, 8, 28, 9, 29, 10, 30, 31, 31, 32 | xpsmul 17620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) = 〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉) |
| 34 | 33 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0})
↔ 〈(𝑎 ·
𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 35 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑐 ∈
ℤ) |
| 36 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈
ℤ) |
| 37 | 35, 36 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
| 38 | 37 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
| 39 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 0
∈ ℤ) |
| 40 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈
ℤ) |
| 41 | 39, 40 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (0
· 𝑏) ∈
ℤ) |
| 42 | 41 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) ∈
ℤ) |
| 43 | 1, 25, 25, 27, 27, 9, 29, 8, 28, 38, 42, 31, 31, 32 | xpsmul 17620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) = 〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉) |
| 44 | 43 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ × {0}) ↔
〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉 ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 45 | 34, 44 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ × {0})) ↔
(〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0}) ∧ 〈(𝑐
· 𝑎), (0 ·
𝑏)〉 ∈ (ℤ
× {0})))) |
| 46 | 18, 24, 45 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 48 | | oveq12 7440 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
| 49 | 48 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
| 50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
| 51 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → 𝐼 = (ℤ × {0})) |
| 52 | 50, 51 | eleq12d 2835 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 53 | | oveq12 7440 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉)) |
| 54 | 53 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉)) |
| 55 | 54, 51 | eleq12d 2835 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼 ↔ (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
| 56 | 52, 55 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) ↔ ((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0})))) |
| 57 | 47, 56 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
| 58 | 57 | exp32 420 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
| 59 | 58 | rexlimdva 3155 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) →
(∃𝑐 ∈ ℤ
𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
| 60 | 59 | com23 86 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
| 61 | 60 | rexlimivv 3201 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑎 ∈
ℤ ∃𝑏 ∈
ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))) |
| 62 | 61 | imp 406 |
. . . 4
⊢
((∃𝑎 ∈
ℤ ∃𝑏 ∈
ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
| 63 | 5, 7, 62 | syl2anb 598 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
| 64 | 63 | rgen2 3199 |
. 2
⊢
∀𝑥 ∈
(Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) |
| 65 | 1 | pzriprnglem1 21492 |
. . 3
⊢ 𝑅 ∈ Rng |
| 66 | 1, 6 | pzriprnglem4 21495 |
. . 3
⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) |
| 67 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢
(2Ideal‘𝑅) =
(2Ideal‘𝑅) |
| 68 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
| 69 | 67, 68, 32 | df2idl2rng 21266 |
. . 3
⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))) |
| 70 | 65, 66, 69 | mp2an 692 |
. 2
⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
| 71 | 64, 70 | mpbir 231 |
1
⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) |