MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem8 21418
Description: Lemma 8 for pzriprng 21427: 𝐼 resp. 𝐽 is a two-sided ideal of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
pzriprng.i 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem8 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)

Proof of Theorem pzriprnglem8
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . . . 7 𝑅 = (β„€ring Γ—s β„€ring)
21pzriprnglem2 21412 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (β„€ Γ— β„€)
32eleq2i 2817 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↔ π‘₯ ∈ (β„€ Γ— β„€))
4 elxp2 5696 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β„€ Γ— β„€) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
53, 4bitri 274 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)
6 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (β„€ Γ— {0})
71, 6pzriprnglem3 21413 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩)
8 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
9 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ 𝑐 ∈ β„€)
108, 9zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž Β· 𝑐) ∈ β„€)
11 zcn 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ β„€ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
1413mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 0) = 0)
15 ovex 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 Β· 0) ∈ V
1615elsn 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 Β· 0) ∈ {0} ↔ (𝑏 Β· 0) = 0)
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 0) ∈ {0})
1810, 17opelxpd 5711 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ ⟨(π‘Ž Β· 𝑐), (𝑏 Β· 0)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0}))
199, 8zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑐 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
2013mul02d 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (0 Β· 𝑏) = 0)
21 ovex 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 Β· 𝑏) ∈ V
2221elsn 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 Β· 𝑏) ∈ {0} ↔ (0 Β· 𝑏) = 0)
2320, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (0 Β· 𝑏) ∈ {0})
2419, 23opelxpd 5711 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ ⟨(𝑐 Β· π‘Ž), (0 Β· 𝑏)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0}))
25 zringbas 21383 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
26 zringring 21379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„€ring ∈ Ring
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ β„€ring ∈ Ring)
28 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
29 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ β„€)
3028, 29zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑏 Β· 0) ∈ β„€)
31 zringmulr 21387 . . . . . . . . . . . . . . 15 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
331, 25, 25, 27, 27, 8, 28, 9, 29, 10, 30, 31, 31, 32xpsmul 17556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) = ⟨(π‘Ž Β· 𝑐), (𝑏 Β· 0)⟩)
3433eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0}) ↔ ⟨(π‘Ž Β· 𝑐), (𝑏 Β· 0)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0})))
35 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑐 ∈ β„€)
36 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
3735, 36zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (𝑐 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
3837ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑐 Β· π‘Ž) ∈ β„€)
39 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 0 ∈ β„€)
40 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
4139, 40zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (0 Β· 𝑏) ∈ β„€)
4241ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (0 Β· 𝑏) ∈ β„€)
431, 25, 25, 27, 27, 9, 29, 8, 28, 38, 42, 31, 31, 32xpsmul 17556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) = ⟨(𝑐 Β· π‘Ž), (0 Β· 𝑏)⟩)
4443eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ ((βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0}) ↔ ⟨(𝑐 Β· π‘Ž), (0 Β· 𝑏)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0})))
4534, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (((βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0}) ∧ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0})) ↔ (⟨(π‘Ž Β· 𝑐), (𝑏 Β· 0)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0}) ∧ ⟨(𝑐 Β· π‘Ž), (0 Β· 𝑏)⟩ ∈ (β„€ Γ— {0}))))
4618, 24, 45mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0}) ∧ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0})))
4746adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ ((βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0}) ∧ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0})))
48 oveq12 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∧ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩))
4948ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩))
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩))
516a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ 𝐼 = (β„€ Γ— {0}))
5250, 51eleq12d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0})))
53 oveq12 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©))
5554, 51eleq12d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼 ↔ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0})))
5652, 55anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼) ↔ ((βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘, 0⟩) ∈ (β„€ Γ— {0}) ∧ (βŸ¨π‘, 0⟩(.rβ€˜π‘…)βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©) ∈ (β„€ Γ— {0}))))
5747, 56mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) ∧ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))
5857exp32 419 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) ∧ 𝑐 ∈ β„€) β†’ (𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))))
5958rexlimdva 3145 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))))
6059com23 86 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))))
6160rexlimivv 3190 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩ β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼)))
6261imp 405 . . . 4 ((βˆƒπ‘Ž ∈ β„€ βˆƒπ‘ ∈ β„€ π‘₯ = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„€ 𝑦 = βŸ¨π‘, 0⟩) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))
635, 7, 62syl2anb 596 . . 3 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))
6463rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼)
651pzriprnglem1 21411 . . 3 𝑅 ∈ Rng
661, 6pzriprnglem4 21414 . . 3 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)
67 eqid 2725 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
68 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
6967, 68, 32df2idl2rng 21154 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼)))
7065, 66, 69mp2an 690 . 2 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ 𝐼))
7164, 70mpbir 230 1 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138   Β· cmul 11143  β„€cz 12588  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  .rcmulr 17233   Γ—s cxps 17487  SubGrpcsubg 19079  Rngcrng 20096  Ringcrg 20177  2Idealc2idl 21147  β„€ringczring 21376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377
This theorem is referenced by:  pzriprnglem12  21422  pzriprnglem13  21423  pzriprngALT  21425  pzriprng1ALT  21426
  Copyright terms: Public domain W3C validator