MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem8 21413
Description: Lemma 8 for pzriprng 21422: 𝐼 resp. 𝐽 is a two-sided ideal of the non-unital ring 𝑅. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem8 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem8
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . . . 7 𝑅 = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem2 21407 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
32eleq2i 2821 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ × ℤ))
4 elxp2 5702 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ × ℤ) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
53, 4bitri 275 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
6 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (ℤ × {0})
71, 6pzriprnglem3 21408 . . . 4 (𝑦𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩)
8 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℤ)
108, 9zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
11 zcn 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
1413mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) = 0)
15 ovex 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 · 0) ∈ V
1615elsn 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 · 0) ∈ {0} ↔ (𝑏 · 0) = 0)
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈ {0})
1810, 17opelxpd 5717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
199, 8zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ)
2013mul02d 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0 · 𝑏) = 0)
21 ovex 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 · 𝑏) ∈ V
2221elsn 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 · 𝑏) ∈ {0} ↔ (0 · 𝑏) = 0)
2320, 22sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0 · 𝑏) ∈ {0})
2419, 23opelxpd 5717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ⟨(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
25 zringbas 21378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ = (Base‘ℤring)
26 zringring 21374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ring ∈ Ring
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
3028, 29zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈ ℤ)
31 zringmulr 21382 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r‘ℤring)
32 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑅) = (.r𝑅)
331, 25, 25, 27, 27, 8, 28, 9, 29, 10, 30, 31, 31, 32xpsmul 17556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) = ⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)⟩)
3433eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ((⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}) ↔ ⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)⟩ ∈ (ℤ × {0})))
35 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑐 ∈ ℤ)
36 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
3735, 36zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ)
3837ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ)
39 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℤ)
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4139, 40zmulcld 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (0 · 𝑏) ∈ ℤ)
4241ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0 · 𝑏) ∈ ℤ)
431, 25, 25, 27, 27, 9, 29, 8, 28, 38, 42, 31, 31, 32xpsmul 17556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) = ⟨(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)⟩)
4443eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ((⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0}) ↔ ⟨(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)⟩ ∈ (ℤ × {0})))
4534, 44anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (((⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}) ∧ (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0})) ↔ (⟨(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ∧ ⟨(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)⟩ ∈ (ℤ × {0}))))
4618, 24, 45mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → ((⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}) ∧ (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0})))
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → ((⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}) ∧ (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0})))
48 oveq12 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩))
4948ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩))
516a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
5250, 51eleq12d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0})))
53 oveq12 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩))
5554, 51eleq12d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼 ↔ (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0})))
5652, 55anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → (((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) ↔ ((⟨𝑎, 𝑏⟩(.r𝑅)⟨𝑐, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}) ∧ (⟨𝑐, 0⟩(.r𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ (ℤ × {0}))))
5747, 56mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))
5857exp32 420 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))))
5958rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ → (𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))))
6059com23 86 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))))
6160rexlimivv 3196 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩ → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
6261imp 406 . . . 4 ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑐, 0⟩) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))
635, 7, 62syl2anb 597 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))
6463rgen2 3194 . 2 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝐼 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)
651pzriprnglem1 21406 . . 3 𝑅 ∈ Rng
661, 6pzriprnglem4 21409 . . 3 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
67 eqid 2728 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
68 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6967, 68, 32df2idl2rng 21149 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝐼 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
7065, 66, 69mp2an 691 . 2 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝐼 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))
7164, 70mpbir 230 1 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  {csn 4629  cop 4635   × cxp 5676  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  0cc0 11138   · cmul 11143  cz 12588  Basecbs 17179  s cress 17208  .rcmulr 17233   ×s cxps 17487  SubGrpcsubg 19074  Rngcrng 20091  Ringcrg 20172  2Idealc2idl 21142  ringczring 21371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-2idl 21143  df-cnfld 21279  df-zring 21372
This theorem is referenced by:  pzriprnglem12  21417  pzriprnglem13  21418  pzriprngALT  21420  pzriprng1ALT  21421
  Copyright terms: Public domain W3C validator