Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pzriprng.r |
. . . . . . 7
⊢ 𝑅 = (ℤring
×s ℤring) |
2 | 1 | pzriprnglem2 21407 |
. . . . . 6
⊢
(Base‘𝑅) =
(ℤ × ℤ) |
3 | 2 | eleq2i 2821 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ ×
ℤ)) |
4 | | elxp2 5702 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ×
ℤ) ↔ ∃𝑎
∈ ℤ ∃𝑏
∈ ℤ 𝑥 =
〈𝑎, 𝑏〉) |
5 | 3, 4 | bitri 275 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) |
6 | | pzriprng.i |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (ℤ ×
{0}) |
7 | 1, 6 | pzriprnglem3 21408 |
. . . 4
⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) |
8 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈
ℤ) |
9 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈
ℤ) |
10 | 8, 9 | zmulcld 12702 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ) |
11 | | zcn 12593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈
ℂ) |
12 | 11 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℂ) |
13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℂ) |
14 | 13 | mul01d 11443 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) =
0) |
15 | | ovex 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 · 0) ∈
V |
16 | 15 | elsn 4644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏 · 0) ∈ {0} ↔
(𝑏 · 0) =
0) |
17 | 14, 16 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈
{0}) |
18 | 10, 17 | opelxpd 5717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0})) |
19 | 9, 8 | zmulcld 12702 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
20 | 13 | mul02d 11442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) =
0) |
21 | | ovex 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (0
· 𝑏) ∈
V |
22 | 21 | elsn 4644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0
· 𝑏) ∈ {0}
↔ (0 · 𝑏) =
0) |
23 | 20, 22 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) ∈
{0}) |
24 | 19, 23 | opelxpd 5717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉 ∈ (ℤ ×
{0})) |
25 | | zringbas 21378 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ℤ =
(Base‘ℤring) |
26 | | zringring 21374 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
ℤring ∈ Ring |
27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
ℤring ∈ Ring) |
28 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈
ℤ) |
29 | | 0zd 12600 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → 0 ∈
ℤ) |
30 | 28, 29 | zmulcld 12702 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑏 · 0) ∈
ℤ) |
31 | | zringmulr 21382 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ·
= (.r‘ℤring) |
32 | | eqid 2728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(.r‘𝑅) = (.r‘𝑅) |
33 | 1, 25, 25, 27, 27, 8, 28, 9, 29, 10, 30, 31, 31, 32 | xpsmul 17556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) = 〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉) |
34 | 33 | eleq1d 2814 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0})
↔ 〈(𝑎 ·
𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0}))) |
35 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑐 ∈
ℤ) |
36 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈
ℤ) |
37 | 35, 36 | zmulcld 12702 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
38 | 37 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑎) ∈ ℤ) |
39 | | 0zd 12600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 0
∈ ℤ) |
40 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈
ℤ) |
41 | 39, 40 | zmulcld 12702 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (0
· 𝑏) ∈
ℤ) |
42 | 41 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (0
· 𝑏) ∈
ℤ) |
43 | 1, 25, 25, 27, 27, 9, 29, 8, 28, 38, 42, 31, 31, 32 | xpsmul 17556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) = 〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉) |
44 | 43 | eleq1d 2814 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ × {0}) ↔
〈(𝑐 · 𝑎), (0 · 𝑏)〉 ∈ (ℤ ×
{0}))) |
45 | 34, 44 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
(((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ × {0})) ↔
(〈(𝑎 · 𝑐), (𝑏 · 0)〉 ∈ (ℤ ×
{0}) ∧ 〈(𝑐
· 𝑎), (0 ·
𝑏)〉 ∈ (ℤ
× {0})))) |
46 | 18, 24, 45 | mpbir2and 712 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) →
((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
48 | | oveq12 7429 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
49 | 48 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
50 | 49 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉)) |
51 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → 𝐼 = (ℤ × {0})) |
52 | 50, 51 | eleq12d 2823 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
53 | | oveq12 7429 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉)) |
54 | 53 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉)) |
55 | 54, 51 | eleq12d 2823 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼 ↔ (〈𝑐, 0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0}))) |
56 | 52, 55 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) ↔ ((〈𝑎, 𝑏〉(.r‘𝑅)〈𝑐, 0〉) ∈ (ℤ × {0}) ∧
(〈𝑐,
0〉(.r‘𝑅)〈𝑎, 𝑏〉) ∈ (ℤ ×
{0})))) |
57 | 47, 56 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 ∧ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
58 | 57 | exp32 420 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
59 | 58 | rexlimdva 3152 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) →
(∃𝑐 ∈ ℤ
𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
60 | 59 | com23 86 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))) |
61 | 60 | rexlimivv 3196 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑎 ∈
ℤ ∃𝑏 ∈
ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 → (∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))) |
62 | 61 | imp 406 |
. . . 4
⊢
((∃𝑎 ∈
ℤ ∃𝑏 ∈
ℤ 𝑥 = 〈𝑎, 𝑏〉 ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ 𝑦 = 〈𝑐, 0〉) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
63 | 5, 7, 62 | syl2anb 597 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
64 | 63 | rgen2 3194 |
. 2
⊢
∀𝑥 ∈
(Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) |
65 | 1 | pzriprnglem1 21406 |
. . 3
⊢ 𝑅 ∈ Rng |
66 | 1, 6 | pzriprnglem4 21409 |
. . 3
⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) |
67 | | eqid 2728 |
. . . 4
⊢
(2Ideal‘𝑅) =
(2Ideal‘𝑅) |
68 | | eqid 2728 |
. . . 4
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
69 | 67, 68, 32 | df2idl2rng 21149 |
. . 3
⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼))) |
70 | 65, 66, 69 | mp2an 691 |
. 2
⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)) |
71 | 64, 70 | mpbir 230 |
1
⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) |