Theorem diag1a 50335

Description: The constant functor of 𝑋. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
diag1.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag1a	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)}))⟩)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧)   𝐶(𝑦, 𝑧)   𝐷(𝑦, 𝑧)   1 (𝑦, 𝑧)   𝐽(𝑦, 𝑧)   𝐿(𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem diag1a

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		diag1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
9		diag1.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1 50334	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)
11		fconstmpt 5709	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
12		fconstmpt 5709	. . . . 5 ⊢ ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)}) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)}) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
14	13	mpoeq3ia 7486	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)})) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
15	11, 14	opeq12i 4837	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩
16	10, 15	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦𝐽𝑧) × {( 1 ‘𝑋)}))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1^st c1st 7982  Basecbs 17348  Hom chom 17400  Catccat 17799  Idccid 17800  Δ_funccdiag 18347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-hom 17413  df-cco 17414  df-cat 17803  df-cid 17804  df-func 17994  df-nat 18082  df-fuc 18083  df-xpc 18307  df-1stf 18308  df-curf 18349  df-diag 18351

This theorem is used by:  diag1f1lem  50336  funcsetc1o  50527  idfudiag1bas  50554  idfudiag1  50555  diag1f1olem  50563