Theorem diag1f1lem 49781

Description: The object part of the diagonal functor is 1-1 if 𝐵 is non-empty. Note that (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑋 = 𝑌)) also holds because of diag1f1 49782 and f1fveq 7217. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag1f1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.m	⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1f1lem.n	⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1lem	⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem diag1f1lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1f1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1f1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1f1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1f1lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1f1lem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1a 49780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
11		diag1f1lem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12		diag1f1lem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 8, 9	diag1a 49780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩)
14	10, 13	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩))
15	7	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		snex 5381	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
17	15, 16	xpex 7707	. . . 4 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) ∈ V
18	15, 15	mpoex 8032	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) ∈ V
19	17, 18	opth1 5428	. . 3 ⊢ (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}))
20		diag1f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21		xpcan 6140	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
23		sneqrg 4782	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
24	5, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
25	22, 24	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) → 𝑋 = 𝑌))
26	19, 25	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → 𝑋 = 𝑌))
27	14, 26	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1^st c1st 7940  Basecbs 17179  Hom chom 17231  Catccat 17630  Idccid 17631  Δ_funccdiag 18178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-func 17825  df-nat 17913  df-fuc 17914  df-xpc 18138  df-1stf 18139  df-curf 18180  df-diag 18182

This theorem is referenced by:  diag1f1  49782