Theorem diag1f1lem 50084

Description: The object part of the diagonal functor is 1-1 if 𝐵 is non-empty. Note that (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑋 = 𝑌)) also holds because of diag1f1 50085 and f1fveq 7260. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag1f1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.m	⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1f1lem.n	⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1lem	⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem diag1f1lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1f1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1f1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1f1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1f1lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1f1lem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1a 50083	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
11		diag1f1lem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12		diag1f1lem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 8, 9	diag1a 50083	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩)
14	10, 13	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩))
15	7	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		snex 5410	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
17	15, 16	xpex 7748	. . . 4 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) ∈ V
18	15, 15	mpoex 8072	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) ∈ V
19	17, 18	opth1 5457	. . 3 ⊢ (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}))
20		diag1f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21		xpcan 6174	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
23		sneqrg 4804	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
24	5, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
25	22, 24	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) → 𝑋 = 𝑌))
26	19, 25	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → 𝑋 = 𝑌))
27	14, 26	sylbid 243	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7980  Basecbs 17264  Hom chom 17316  Catccat 17715  Idccid 17716  Δ_funccdiag 18263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-func 17910  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-xpc 18223  df-1stf 18224  df-curf 18265  df-diag 18267

This theorem is referenced by:  diag1f1  50085