Theorem diag1f1lem 49268

Description: The object part of the diagonal functor is 1-1 if 𝐵 is non-empty. Note that (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑋 = 𝑌)) also holds because of diag1f1 49269 and f1fveq 7219. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag1f1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.m	⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1f1lem.n	⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1lem	⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem diag1f1lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1f1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1f1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1f1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1f1lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1f1lem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1a 49267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
11		diag1f1lem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12		diag1f1lem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 8, 9	diag1a 49267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩)
14	10, 13	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩))
15	7	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		snex 5386	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
17	15, 16	xpex 7709	. . . 4 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) ∈ V
18	15, 15	mpoex 8037	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) ∈ V
19	17, 18	opth1 5430	. . 3 ⊢ (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}))
20		diag1f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21		xpcan 6137	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
23		sneqrg 4799	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
24	5, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
25	22, 24	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) → 𝑋 = 𝑌))
26	19, 25	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → 𝑋 = 𝑌))
27	14, 26	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1^st c1st 7945  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Catccat 17601  Idccid 17602  Δ_funccdiag 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-func 17796  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-xpc 18109  df-1stf 18110  df-curf 18151  df-diag 18153

This theorem is referenced by:  diag1f1  49269