Theorem diag1f1lem 50759

Description: The object part of the diagonal functor is 1-1 if 𝐵 is non-empty. Note that (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑋 = 𝑌)) also holds because of diag1f1 50760 and f1fveq 7297. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag1f1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.m	⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1f1lem.n	⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1lem	⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem diag1f1lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1f1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1f1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1f1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1f1lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1f1lem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1a 50758	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
11		diag1f1lem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12		diag1f1lem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 8, 9	diag1a 50758	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩)
14	10, 13	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩))
15	7	fvexi 6930	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
17	15, 16	xpex 7799	. . . 4 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) ∈ V
18	15, 15	mpoex 8127	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) ∈ V
19	17, 18	opth1 5451	. . 3 ⊢ (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}))
20		diag1f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21		xpcan 6186	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
23		sneqrg 4799	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
24	5, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
25	22, 24	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) → 𝑋 = 𝑌))
26	19, 25	syl5 35	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → 𝑋 = 𝑌))
27	14, 26	sylbid 243	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4840   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  1^st c1st 8033  Basecbs 17431  Hom chom 17483  Catccat 17888  Idccid 17889  Δ_funccdiag 18436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-func 18083  df-nat 18171  df-fuc 18172  df-xpc 18396  df-1stf 18397  df-curf 18438  df-diag 18440

This theorem is used by:  diag1f1  50760