Theorem diag1f1lem 49551

Description: The object part of the diagonal functor is 1-1 if 𝐵 is non-empty. Note that (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ 𝑋 = 𝑌)) also holds because of diag1f1 49552 and f1fveq 7208. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1f1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1f1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1f1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1f1.0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
diag1f1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag1f1lem.m	⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1f1lem.n	⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1lem	⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem diag1f1lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag1f1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		diag1f1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		diag1f1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		diag1f1lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		diag1f1lem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7		diag1f1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag1a 49550	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
11		diag1f1lem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
12		diag1f1lem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((1st ‘𝐿)‘𝑌)
13	1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 8, 9	diag1a 49550	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩)
14	10, 13	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 ↔ ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩))
15	7	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
16		snex 5381	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
17	15, 16	xpex 7698	. . . 4 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) ∈ V
18	15, 15	mpoex 8023	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) ∈ V
19	17, 18	opth1 5423	. . 3 ⊢ (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}))
20		diag1f1.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21		xpcan 6134	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) ↔ {𝑋} = {𝑌}))
23		sneqrg 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
24	5, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} = {𝑌} → 𝑋 = 𝑌))
25	22, 24	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐵 × {𝑌}) → 𝑋 = 𝑌))
26	19, 25	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑌}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐷)𝑦) × {((Id‘𝐶)‘𝑌)}))⟩ → 𝑋 = 𝑌))
27	14, 26	sylbid 240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 = 𝑁 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1^st c1st 7931  Basecbs 17136  Hom chom 17188  Catccat 17587  Idccid 17588  Δ_funccdiag 18135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-func 17782  df-nat 17870  df-fuc 17871  df-xpc 18095  df-1stf 18096  df-curf 18137  df-diag 18139

This theorem is referenced by:  diag1f1  49552