Theorem diag1 49275

Description: The constant functor of 𝑋. Example 3.20(2) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
diag1.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽   𝑓,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑓)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑓)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓)   1 (𝑦,𝑧,𝑓)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐿(𝑦,𝑧,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑓)

Proof of Theorem diag1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17830	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		diag1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
3		diag1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		diag1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		diag1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
6		diag1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		diag1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	diag1cl 18209	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		1st2nd 8020	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
10	1, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
11		diag1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
12		1st2ndbr 8023	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
13	1, 8, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
14	11, 5, 13	funcf1 17834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾):𝐵⟶𝐴)
15	14	feqmptd 6931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)))
16	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
17	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
18	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	2, 16, 17, 5, 18, 7, 11, 19	diag11 18210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1st ‘𝐾)‘𝑦) = 𝑋)
21	20	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
22	15, 21	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
23	11, 13	funcfn2 17837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵))
24		fnov 7522	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
25	23, 24	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
26		diag1.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
27		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
28	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
29		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	11, 26, 27, 28, 29, 30	funcf2 17836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧):(𝑦𝐽𝑧)⟶(((1st ‘𝐾)‘𝑦)(Hom ‘𝐶)((1st ‘𝐾)‘𝑧)))
32	31	feqmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)))
33		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝜑)
34	33, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐶 ∈ Cat)
35	33, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐷 ∈ Cat)
36	33, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		diag1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
39	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
41	2, 34, 35, 5, 36, 7, 11, 37, 26, 38, 39, 40	diag12 18211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓) = ( 1 ‘𝑋))
42	41	mpteq2dva 5202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
43	32, 42	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
44	43	mpoeq3dva 7468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
45	25, 44	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
46	22, 45	opeq12d 4847	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩ = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)
47	10, 46	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638  Rel wrel 5645   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  Basecbs 17185  Hom chom 17237  Catccat 17631  Idccid 17632   Func cfunc 17822  Δ_funccdiag 18179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-xpc 18139  df-1stf 18140  df-curf 18181  df-diag 18183

This theorem is referenced by:  diag1a  49276