Theorem diag1 50381

Description: The constant functor of 𝑋. Example 3.20(2) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
diag1.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽   𝑓,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐷(𝑦, 𝑧, 𝑓)   1 (𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐽(𝑦, 𝑧)   𝐿(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑓)

Proof of Theorem diag1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18030	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		diag1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
3		diag1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		diag1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		diag1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
6		diag1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		diag1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	diag1cl 18409	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		1st2nd 8048	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
10	1, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
11		diag1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
12		1st2ndbr 8051	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
13	1, 8, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
14	11, 5, 13	funcf1 18034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾):𝐵⟶𝐴)
15	14	feqmptd 6951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)))
16	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
17	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
18	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	2, 16, 17, 5, 18, 7, 11, 19	diag11 18410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1st ‘𝐾)‘𝑦) = 𝑋)
21	20	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
22	15, 21	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
23	11, 13	funcfn2 18037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵))
24		fnov 7549	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
25	23, 24	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
26		diag1.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
28	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
29		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	11, 26, 27, 28, 29, 30	funcf2 18036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧):(𝑦𝐽𝑧)⟶(((1st ‘𝐾)‘𝑦)(Hom ‘𝐶)((1st ‘𝐾)‘𝑧)))
32	31	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)))
33		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝜑)
34	33, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐶 ∈ Cat)
35	33, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐷 ∈ Cat)
36	33, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		diag1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
39	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
41	2, 34, 35, 5, 36, 7, 11, 37, 26, 38, 39, 40	diag12 18411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓) = ( 1 ‘𝑋))
42	41	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
43	32, 42	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
44	43	mpoeq3dva 7495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
45	25, 44	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
46	22, 45	opeq12d 4841	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩ = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)
47	10, 46	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  Rel wrel 5656   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  1^st c1st 7997  2^nd c2nd 7998  Basecbs 17380  Hom chom 17432  Catccat 17831  Idccid 17832   Func cfunc 18022  Δ_funccdiag 18379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-func 18026  df-nat 18114  df-fuc 18115  df-xpc 18339  df-1stf 18340  df-curf 18381  df-diag 18383

This theorem is used by:  diag1a  50382