Theorem diag1 50533

Description: The constant functor of 𝑋. Example 3.20(2) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
diag1.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽   𝑓,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐷(𝑦, 𝑧, 𝑓)   1 (𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐽(𝑦, 𝑧)   𝐿(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑓)

Proof of Theorem diag1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18044	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		diag1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
3		diag1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		diag1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		diag1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
6		diag1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		diag1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	diag1cl 18423	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		1st2nd 8052	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
10	1, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
11		diag1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
12		1st2ndbr 8055	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
13	1, 8, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
14	11, 5, 13	funcf1 18048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾):𝐵⟶𝐴)
15	14	feqmptd 6956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)))
16	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
17	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
18	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	2, 16, 17, 5, 18, 7, 11, 19	diag11 18424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1st ‘𝐾)‘𝑦) = 𝑋)
21	20	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
22	15, 21	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
23	11, 13	funcfn2 18051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵))
24		fnov 7553	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
25	23, 24	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
26		diag1.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
27		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
28	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
29		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	11, 26, 27, 28, 29, 30	funcf2 18050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧):(𝑦𝐽𝑧)⟶(((1st ‘𝐾)‘𝑦)(Hom ‘𝐶)((1st ‘𝐾)‘𝑧)))
32	31	feqmptd 6956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)))
33		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝜑)
34	33, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐶 ∈ Cat)
35	33, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐷 ∈ Cat)
36	33, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		diag1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
39	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
41	2, 34, 35, 5, 36, 7, 11, 37, 26, 38, 39, 40	diag12 18425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓) = ( 1 ‘𝑋))
42	41	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
43	32, 42	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
44	43	mpoeq3dva 7499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
45	25, 44	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
46	22, 45	opeq12d 4847	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩ = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)
47	10, 46	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  Rel wrel 5655   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  Basecbs 17394  Hom chom 17446  Catccat 17845  Idccid 17846   Func cfunc 18036  Δ_funccdiag 18393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-func 18040  df-nat 18128  df-fuc 18129  df-xpc 18353  df-1stf 18354  df-curf 18395  df-diag 18397

This theorem is used by:  diag1a  50534