Theorem diag1 50757

Description: The constant functor of 𝑋. Example 3.20(2) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Zhi Wang, 17-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
diag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag1.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
diag1.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag1	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽   𝑓,𝐾,𝑦,𝑧   𝜑,𝑓,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐶(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐷(𝑦, 𝑧, 𝑓)   1 (𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝐽(𝑦, 𝑧)   𝐿(𝑦, 𝑧, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑓)

Proof of Theorem diag1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18087	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		diag1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
3		diag1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		diag1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		diag1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
6		diag1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		diag1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	diag1cl 18466	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
9		1st2nd 8084	. . 3 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
10	1, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩)
11		diag1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
12		1st2ndbr 8087	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝐷 Func 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶)) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
13	1, 8, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
14	11, 5, 13	funcf1 18091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾):𝐵⟶𝐴)
15	14	feqmptd 6984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)))
16	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
17	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
18	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	2, 16, 17, 5, 18, 7, 11, 19	diag11 18467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1st ‘𝐾)‘𝑦) = 𝑋)
21	20	mpteq2dva 5204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((1st ‘𝐾)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
22	15, 21	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
23	11, 13	funcfn2 18094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵))
24		fnov 7582	. . . . 5 ⊢ ((2nd ‘𝐾) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
25	23, 24	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)))
26		diag1.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
27		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
28	13	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
29		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	11, 26, 27, 28, 29, 30	funcf2 18093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧):(𝑦𝐽𝑧)⟶(((1st ‘𝐾)‘𝑦)(Hom ‘𝐶)((1st ‘𝐾)‘𝑧)))
32	31	feqmptd 6984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)))
33		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝜑)
34	33, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐶 ∈ Cat)
35	33, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝐷 ∈ Cat)
36	33, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		diag1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
39	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧))
41	2, 34, 35, 5, 36, 7, 11, 37, 26, 38, 39, 40	diag12 18468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧)) → ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓) = ( 1 ‘𝑋))
42	41	mpteq2dva 5204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ((𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)‘𝑓)) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
43	32, 42	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧) = (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))
44	43	mpoeq3dva 7528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(2nd ‘𝐾)𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
45	25, 44	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋))))
46	22, 45	opeq12d 4853	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐾), (2nd ‘𝐾)⟩ = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)
47	10, 46	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∈ (𝑦𝐽𝑧) ↦ ( 1 ‘𝑋)))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  Rel wrel 5663   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  1^st c1st 8033  2^nd c2nd 8034  Basecbs 17431  Hom chom 17483  Catccat 17888  Idccid 17889   Func cfunc 18079  Δ_funccdiag 18436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-func 18083  df-nat 18171  df-fuc 18172  df-xpc 18396  df-1stf 18397  df-curf 18438  df-diag 18440

This theorem is used by:  diag1a  50758