Theorem funcsetc1o 49466

Description: Value of the functor to the trivial category. The converse is also true because 𝐹 would be the empty set if 𝐶 were not a category; and the empty set cannot equal an ordered pair of two sets. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
funcsetc1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
funcsetc1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1o	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetc1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 49460	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccd 49448	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 49461	. . 3 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8470	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12		funcsetc1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13		funcsetc1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Id‘ 1 ) = (Id‘ 1 )
15	1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	diag1a 49276	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩)
16		df1o2 8443	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
17	16	xpeq2i 5667	. . 3 ⊢ (𝐵 × 1o) = (𝐵 × {∅})
18	2, 14	setc1oid 49464	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘ 1 )‘∅) = ∅
19	18	sneqi 4602	. . . . . . 7 ⊢ {((Id‘ 1 )‘∅)} = {∅}
20	16, 19	eqtr4i 2756	. . . . . 6 ⊢ 1o = {((Id‘ 1 )‘∅)}
21	20	xpeq2i 5667	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)})
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
23	22	mpoeq3ia 7469	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
24	17, 23	opeq12i 4844	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩ = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩
25	15, 24	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4298  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  1^st c1st 7968  1_oc1o 8429  Basecbs 17185  Hom chom 17237  Catccat 17631  Idccid 17632  SetCatcsetc 18043  Δ_funccdiag 18179  TermCatctermc 49441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-setc 18044  df-xpc 18139  df-1stf 18140  df-curf 18181  df-diag 18183  df-thinc 49387  df-termc 49442

This theorem is referenced by: (None)