Theorem funcsetc1o 49502

Description: Value of the functor to the trivial category. The converse is also true because 𝐹 would be the empty set if 𝐶 were not a category; and the empty set cannot equal an ordered pair of two sets. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
funcsetc1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
funcsetc1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1o	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetc1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 49496	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccd 49484	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 49497	. . 3 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8429	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12		funcsetc1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13		funcsetc1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Id‘ 1 ) = (Id‘ 1 )
15	1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	diag1a 49310	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩)
16		df1o2 8402	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
17	16	xpeq2i 5650	. . 3 ⊢ (𝐵 × 1o) = (𝐵 × {∅})
18	2, 14	setc1oid 49500	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘ 1 )‘∅) = ∅
19	18	sneqi 4590	. . . . . . 7 ⊢ {((Id‘ 1 )‘∅)} = {∅}
20	16, 19	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ 1o = {((Id‘ 1 )‘∅)}
21	20	xpeq2i 5650	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)})
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
23	22	mpoeq3ia 7431	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
24	17, 23	opeq12i 4832	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩ = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩
25	15, 24	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  {csn 4579  ⟨cop 4585   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  1^st c1st 7929  1_oc1o 8388  Basecbs 17139  Hom chom 17191  Catccat 17589  Idccid 17590  SetCatcsetc 18001  Δ_funccdiag 18137  TermCatctermc 49477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-hom 17204  df-cco 17205  df-cat 17593  df-cid 17594  df-func 17784  df-nat 17872  df-fuc 17873  df-setc 18002  df-xpc 18097  df-1stf 18098  df-curf 18139  df-diag 18141  df-thinc 49423  df-termc 49478

This theorem is referenced by: (None)