Theorem funcsetc1o 50963

Description: Value of the functor to the trivial category. The converse is also true because 𝐹 would be the empty set if 𝐶 were not a category; and the empty set cannot equal an ordered pair of two sets. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
funcsetc1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
funcsetc1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1o	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   1 (𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetc1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 50957	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccatd 50945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 50958	. . 3 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8550	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12		funcsetc1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13		funcsetc1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘ 1 ) = (Id‘ 1 )
15	1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	diag1a 50758	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩)
16		df1o2 8521	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
17	16	xpeq2i 5685	. . 3 ⊢ (𝐵 × 1o) = (𝐵 × {∅})
18	2, 14	setc1oid 50961	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘ 1 )‘∅) = ∅
19	18	sneqi 4595	. . . . . . 7 ⊢ {((Id‘ 1 )‘∅)} = {∅}
20	16, 19	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ 1o = {((Id‘ 1 )‘∅)}
21	20	xpeq2i 5685	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)})
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
23	22	mpoeq3ia 7529	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
24	17, 23	opeq12i 4850	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩ = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩
25	15, 24	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4840   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  1^st c1st 8033  1_oc1o 8507  Basecbs 17431  Hom chom 17483  Catccat 17888  Idccid 17889  SetCatcsetc 18300  Δ_funccdiag 18436  TermCatctermc 50938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-func 18083  df-nat 18171  df-fuc 18172  df-setc 18301  df-xpc 18396  df-1stf 18397  df-curf 18438  df-diag 18440  df-thinc 50884  df-termc 50939

This theorem is used by: (None)