Theorem funcsetc1o 49987

Description: Value of the functor to the trivial category. The converse is also true because 𝐹 would be the empty set if 𝐶 were not a category; and the empty set cannot equal an ordered pair of two sets. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
funcsetc1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
funcsetc1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1o	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetc1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 49981	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccd 49969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 49982	. . 3 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8429	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12		funcsetc1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13		funcsetc1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
14		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Id‘ 1 ) = (Id‘ 1 )
15	1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	diag1a 49795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩)
16		df1o2 8402	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
17	16	xpeq2i 5645	. . 3 ⊢ (𝐵 × 1o) = (𝐵 × {∅})
18	2, 14	setc1oid 49985	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘ 1 )‘∅) = ∅
19	18	sneqi 4566	. . . . . . 7 ⊢ {((Id‘ 1 )‘∅)} = {∅}
20	16, 19	eqtr4i 2765	. . . . . 6 ⊢ 1o = {((Id‘ 1 )‘∅)}
21	20	xpeq2i 5645	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)})
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
23	22	mpoeq3ia 7434	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
24	17, 23	opeq12i 4809	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩ = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩
25	15, 24	eqtr4di 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   × cxp 5616  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1^st c1st 7929  1_oc1o 8388  Basecbs 17170  Hom chom 17222  Catccat 17621  Idccid 17622  SetCatcsetc 18033  Δ_funccdiag 18169  TermCatctermc 49962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626  df-func 17816  df-nat 17904  df-fuc 17905  df-setc 18034  df-xpc 18129  df-1stf 18130  df-curf 18171  df-diag 18173  df-thinc 49908  df-termc 49963

This theorem is referenced by: (None)