Theorem funcsetc1o 50275

Description: Value of the functor to the trivial category. The converse is also true because 𝐹 would be the empty set if 𝐶 were not a category; and the empty set cannot equal an ordered pair of two sets. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
funcsetc1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
funcsetc1o.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1o	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetc1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 50269	. . . . . 6 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccd 50257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 50270	. . 3 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8485	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12		funcsetc1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
13		funcsetc1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘ 1 ) = (Id‘ 1 )
15	1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	diag1a 50083	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩)
16		df1o2 8456	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
17	16	xpeq2i 5688	. . 3 ⊢ (𝐵 × 1o) = (𝐵 × {∅})
18	2, 14	setc1oid 50273	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘ 1 )‘∅) = ∅
19	18	sneqi 4600	. . . . . . 7 ⊢ {((Id‘ 1 )‘∅)} = {∅}
20	16, 19	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ 1o = {((Id‘ 1 )‘∅)}
21	20	xpeq2i 5688	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)})
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥𝐻𝑦) × 1o) = ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
23	22	mpoeq3ia 7488	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))
24	17, 23	opeq12i 4843	. 2 ⊢ ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩ = ⟨(𝐵 × {∅}), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × {((Id‘ 1 )‘∅)}))⟩
25	15, 24	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(𝐵 × 1o), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑥𝐻𝑦) × 1o))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7980  1_oc1o 8442  Basecbs 17264  Hom chom 17316  Catccat 17715  Idccid 17716  SetCatcsetc 18127  Δ_funccdiag 18263  TermCatctermc 50250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-func 17910  df-nat 17998  df-fuc 17999  df-setc 18128  df-xpc 18223  df-1stf 18224  df-curf 18265  df-diag 18267  df-thinc 50196  df-termc 50251

This theorem is referenced by: (None)