Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlimc 43216
Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idlimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
idlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
idlimc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
idlimc (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem idlimc
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlimc.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4 idlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
54fvmpt2 6918 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘₯)
63, 3, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘₯)
76fvoveq1d 7329 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
9 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
108, 9eqbrtrd 5103 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
1110adantrl 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
1211ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
1312adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
1413ralrimiva 3140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
15 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧π‘₯
16 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧𝑋
1715, 16nfne 3043 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 π‘₯ β‰  𝑋
18 nfv 1915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧(absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
1917, 18nfan 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
20 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
2119, 20nfim 1897 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
22 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
23 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯abs
24 nfmpt1 5189 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
254, 24nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑧
2725, 26nffv 6814 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘§)
28 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ βˆ’
29 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑋
3027, 28, 29nfov 7337 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)
3123, 30nffv 6814 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋))
32 nfcv 2905 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ <
33 nfcv 2905 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑀
3431, 32, 33nfbr 5128 . . . . . . 7 β„²π‘₯(absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
3522, 34nfim 1897 . . . . . 6 β„²π‘₯((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
36 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ β‰  𝑋 ↔ 𝑧 β‰  𝑋))
37 fvoveq1 7330 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)))
3837breq1d 5091 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
3936, 38anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ (𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)))
4039imbrov2fvoveq 7332 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)))
4121, 35, 40cbvralw 3385 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
4214, 41sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
43 brimralrspcev 5142 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
442, 42, 43syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
4544ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
46 idlimc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4746sselda 3926 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4847, 4fmptd 7020 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4948, 46, 1ellimc3 25088 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))))
501, 45, 49mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  β„‚cc 10915   < clt 11055   βˆ’ cmin 11251  β„+crp 12776  abscabs 14990   limβ„‚ climc 25071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-struct 16893  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-rest 17178  df-topn 17179  df-topgen 17199  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cnp 22424  df-xms 23518  df-ms 23519  df-limc 25075
This theorem is referenced by:  fourierdlem53  43749  fourierdlem60  43756  fourierdlem61  43757  fourierdlem73  43769  fourierdlem74  43770  fourierdlem75  43771  fourierdlem76  43772
  Copyright terms: Public domain W3C validator