Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlimc 44342
Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idlimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
idlimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
idlimc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
idlimc (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem idlimc
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlimc.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4 idlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
54fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘₯)
63, 3, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘₯)
76fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
9 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
108, 9eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
1110adantrl 715 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
1211ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
1312adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
1413ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
15 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧π‘₯
16 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧𝑋
1715, 16nfne 3044 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 π‘₯ β‰  𝑋
18 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧(absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
1917, 18nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
20 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
2119, 20nfim 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑧((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
22 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
23 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯abs
24 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ π‘₯)
254, 24nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝐹
26 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑧
2725, 26nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘§)
28 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ βˆ’
29 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑋
3027, 28, 29nfov 7439 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)
3123, 30nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋))
32 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ <
33 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑀
3431, 32, 33nfbr 5196 . . . . . . 7 β„²π‘₯(absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀
3522, 34nfim 1900 . . . . . 6 β„²π‘₯((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)
36 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ β‰  𝑋 ↔ 𝑧 β‰  𝑋))
37 fvoveq1 7432 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)))
3837breq1d 5159 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
3936, 38anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ (𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)))
4039imbrov2fvoveq 7434 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)))
4121, 35, 40cbvralw 3304 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
4214, 41sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
43 brimralrspcev 5210 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
442, 42, 43syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
4544ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))
46 idlimc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4746sselda 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4847, 4fmptd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4948, 46, 1ellimc3 25396 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝑋 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑋)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < 𝑀))))
501, 45, 49mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  abscabs 15181   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  fourierdlem53  44875  fourierdlem60  44882  fourierdlem61  44883  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898
  Copyright terms: Public domain W3C validator