Theorem idlimc 45641

Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
idlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idlimc	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlimc.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		idlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
5	4	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
6	3, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
7	6	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
10	8, 9	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
11	10	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
12	11	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
13	12	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
14	13	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
15		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑥
16		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑋
17	15, 16	nfne 3043	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ≠ 𝑋
18		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤
19	17, 18	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
20		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
21	19, 20	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
22		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)
23		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
24		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
25	4, 24	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
27	25, 26	nffv 6916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
28		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 −
29		nfcv 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
30	27, 28, 29	nfov 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) − 𝑋)
31	23, 30	nffv 6916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
32		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
33		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
34	31, 32, 33	nfbr 5190	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
35	22, 34	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
36		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑋 ↔ 𝑧 ≠ 𝑋))
37		fvoveq1 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) = (abs‘(𝑧 − 𝑋)))
38	37	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
40	39	imbrov2fvoveq 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
41	21, 35, 40	cbvralw 3306	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
42	14, 41	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
43		brimralrspcev 5204	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
44	2, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
45	44	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
46		idlimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	46	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47, 4	fmptd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
49	48, 46, 1	ellimc3 25914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
50	1, 45, 49	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   < clt 11295   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   lim_ℂ climc 25897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901

This theorem is referenced by:  fourierdlem53  46174  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197