Theorem idlimc 40520

Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
idlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idlimc	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlimc.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		idlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
5	4	fvmpt2 6484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
6	3, 3, 5	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
7	6	fvoveq1d 6868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
8	7	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
9		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
10	8, 9	eqbrtrd 4833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
11	10	adantrl 707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
12	11	ex 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
13	12	adantlr 706	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
14	13	ralrimiva 3113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
15		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑥
16		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑋
17	15, 16	nfne 3037	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ≠ 𝑋
18		nfv 2009	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤
19	17, 18	nfan 1998	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
20		nfv 2009	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
21	19, 20	nfim 1995	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
22		nfv 2009	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)
23		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
24		nfmpt1 4908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
25	4, 24	nfcxfr 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
27	25, 26	nffv 6389	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
28		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 −
29		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
30	27, 28, 29	nfov 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) − 𝑋)
31	23, 30	nffv 6389	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
32		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
33		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
34	31, 32, 33	nfbr 4858	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
35	22, 34	nfim 1995	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
36		neeq1 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑋 ↔ 𝑧 ≠ 𝑋))
37		fvoveq1 6869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) = (abs‘(𝑧 − 𝑋)))
38	37	breq1d 4821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
39	36, 38	anbi12d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
40	39	imbrov2fvoveq 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
41	21, 35, 40	cbvral 3315	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
42	14, 41	sylib 209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
43		brimralrspcev 4872	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
44	2, 42, 43	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
45	44	ralrimiva 3113	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
46		idlimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	46	sselda 3763	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47, 4	fmptd 6578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
49	48, 46, 1	ellimc3 23948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
50	1, 45, 49	mpbir2and 704	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∀wral 3055  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3734   class class class wbr 4811   ↦ cmpt 4890  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846  ℂcc 10191   < clt 10332   − cmin 10524  ℝ⁺crp 12033  abscabs 14273   lim_ℂ climc 23931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12539  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-rest 16363  df-topn 16364  df-topgen 16384  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cnp 21326  df-xms 22418  df-ms 22419  df-limc 23935

This theorem is referenced by:  fourierdlem53  41037  fourierdlem60  41044  fourierdlem61  41045  fourierdlem73  41057  fourierdlem74  41058  fourierdlem75  41059  fourierdlem76  41060