Theorem idlimc 45582

Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
idlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idlimc	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlimc.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		idlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
5	4	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
6	3, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
7	6	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
10	8, 9	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
11	10	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
12	11	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
13	12	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
14	13	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
15		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑥
16		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑋
17	15, 16	nfne 3041	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ≠ 𝑋
18		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤
19	17, 18	nfan 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
20		nfv 1912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
21	19, 20	nfim 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
22		nfv 1912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)
23		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
24		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
25	4, 24	nfcxfr 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
27	25, 26	nffv 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
28		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 −
29		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
30	27, 28, 29	nfov 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) − 𝑋)
31	23, 30	nffv 6917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
32		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
33		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
34	31, 32, 33	nfbr 5195	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
35	22, 34	nfim 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
36		neeq1 3001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑋 ↔ 𝑧 ≠ 𝑋))
37		fvoveq1 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) = (abs‘(𝑧 − 𝑋)))
38	37	breq1d 5158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
40	39	imbrov2fvoveq 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
41	21, 35, 40	cbvralw 3304	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
42	14, 41	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
43		brimralrspcev 5209	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
44	2, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
45	44	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
46		idlimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	46	sselda 3995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47, 4	fmptd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
49	48, 46, 1	ellimc3 25929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
50	1, 45, 49	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   < clt 11293   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270   lim_ℂ climc 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cnp 23252  df-xms 24346  df-ms 24347  df-limc 25916

This theorem is referenced by:  fourierdlem53  46115  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem73  46135  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem76  46138