Theorem idlimc 42268

Description: Limit of the identity function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
idlimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
idlimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idlimc	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem idlimc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlimc.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		idlimc.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
5	4	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
6	3, 3, 5	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝑥)
7	6	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) = (abs‘(𝑥 − 𝑋)))
9		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
10	8, 9	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
11	10	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
12	11	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
13	12	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
14	13	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤))
15		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑥
16		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑋
17	15, 16	nfne 3087	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 ≠ 𝑋
18		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤
19	17, 18	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤)
20		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤
21	19, 20	nfim 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤)
22		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)
23		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥abs
24		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
25	4, 24	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
26		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
27	25, 26	nffv 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
28		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 −
29		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
30	27, 28, 29	nfov 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) − 𝑋)
31	23, 30	nffv 6655	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
32		nfcv 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 <
33		nfcv 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
34	31, 32, 33	nfbr 5077	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤
35	22, 34	nfim 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)
36		neeq1 3049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑋 ↔ 𝑧 ≠ 𝑋))
37		fvoveq1 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (abs‘(𝑥 − 𝑋)) = (abs‘(𝑧 − 𝑋)))
38	37	breq1d 5040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤))
39	36, 38	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) ↔ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤)))
40	39	imbrov2fvoveq 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)))
41	21, 35, 40	cbvralw 3387	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝑋)) < 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
42	14, 41	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
43		brimralrspcev 5091	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
44	2, 42, 43	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
45	44	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))
46		idlimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
47	46	sselda 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47, 4	fmptd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
49	48, 46, 1	ellimc3 24482	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝑋 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑋)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑤))))
50	1, 45, 49	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 limℂ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   < clt 10664   − cmin 10859  ℝ⁺crp 12377  abscabs 14585   lim_ℂ climc 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469

This theorem is referenced by:  fourierdlem53  42801  fourierdlem60  42808  fourierdlem61  42809  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824