Theorem fllep1 13811

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fllep1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem fllep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2		reflcl 13806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2re 11356	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
5		ltle 11271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
6	4, 5	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217  ⌊cfl 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fl 13802

This theorem is referenced by:  uzsup  13873  rddif  15368  rexuzre  15380  limsupgre  15508  rlimclim1  15572  o1fsum  15841  vdwnnlem3  17033  ovoliunlem2  25565  mbfi1fseqlem6  25782  dvfsumlem2  26089  dvfsumlem3  26090  harmoniclbnd  27073  harmonicbnd4  27075  logfaclbnd  27286  chtppilimlem1  27537  dchrisumlema  27552  dchrisumlem3  27555  dchrisum0lem1  27580  selberg2lem  27614  pntrsumo1  27629  pntpbnd2  27651  pntlemg  27662  pntlemr  27666  pntlemj  27667  minvecolem4  31083  dstfrvunirn  34772  dnibndlem10  36925  knoppndvlem19  36968  ltflcei  38107  itg2addnclem3  38172  aks4d1p1p4  42688  aks6d1c7lem1  42797  irrapxlem4  43402  irrapxlem5  43403