Theorem drnglring 33851

Description: A division ring is a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
drnglring.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drnglring	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

Proof of Theorem drnglring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnglring.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2		drngnzr 20903	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
4	1	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝐹 ∈ DivRing)
5		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
6		neqne 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))
8		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
10		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
11	8, 9, 10	drngunit 20887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))))
12	11	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐹))
13	4, 5, 7, 12	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐹))
14	1	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝐹 ∈ DivRing)
15		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
16		neqne 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 = (0g‘𝐹) → 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))
18	8, 9, 10	drngunit 20887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))))
19	18	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))
20	14, 15, 17, 19	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))
21		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → 𝜑)
22		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹))
23		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
24	23, 10	nzrnz 20667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
25	3, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
26	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
27	22, 26	eqnetrd 3027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ≠ (0g‘𝐹))
28	27	neneqd 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → ¬ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹))
29		oveq12 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)))
31		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
32	1	drnggrpd 20891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
34	8, 10, 33	grpidcld 33428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
35	8, 31, 10, 33, 34	grplidd 19085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
36	30, 35	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹))
37	36	stoic1a 1805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹)) → ¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
38	21, 28, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → ¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
39		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) ∨ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) ∨ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
41	13, 20, 40	orim12da 980	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹)))
42	41	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
43	42	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
44	43	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
45	8, 31, 23, 9	islring 20694	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ LRing ↔ (𝐹 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹)))))
46	3, 44, 45	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  +_gcplusg 17337  0_gc0g 17519  Grpcgrp 19049  1_rcur 20312  Unitcui 20488  NzRingcnzr 20664  LRingclring 20692  DivRingcdr 20882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-nzr 20665  df-lring 20693  df-drng 20884

This theorem is used by: (None)