Theorem drnglring 33935

Description: A division ring is a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
drnglring.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
drnglring	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

Proof of Theorem drnglring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnglring.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
2		drngnzr 20941	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NzRing)
4	1	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝐹 ∈ DivRing)
5		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
6		neqne 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
9		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
11	8, 9, 10	drngunit 20924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))))
12	11	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐹))
13	4, 5, 7, 12	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑥 = (0g‘𝐹)) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝐹))
14	1	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝐹 ∈ DivRing)
15		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
16		neqne 2963	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 = (0g‘𝐹) → 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))
18	8, 9, 10	drngunit 20924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))))
19	18	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))
20	14, 15, 17, 19	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) ∧ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))
21		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → 𝜑)
22		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
24	23, 10	nzrnz 20704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
25	3, 24	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
26	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
27	22, 26	eqnetrd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ≠ (0g‘𝐹))
28	27	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → ¬ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹))
29		oveq12 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)))
31		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
32	1	drnggrpd 20928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
34	8, 10, 33	grpidcld 33511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
35	8, 31, 10, 33, 34	grplidd 19119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → ((0g‘𝐹)(+g‘𝐹)(0g‘𝐹)) = (0g‘𝐹))
36	30, 35	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹))
37	36	stoic1a 1805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (0g‘𝐹)) → ¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
38	21, 28, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → ¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
39		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 = (0g‘𝐹) ∧ 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) ∨ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (¬ 𝑥 = (0g‘𝐹) ∨ ¬ 𝑦 = (0g‘𝐹)))
41	13, 20, 40	orim12da 980	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹)) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹)))
42	41	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
43	42	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
44	43	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹))))
45	8, 31, 23, 9	islring 20731	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ LRing ↔ (𝐹 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) = (1r‘𝐹) → (𝑥 ∈ (Unit‘𝐹) ∨ 𝑦 ∈ (Unit‘𝐹)))))
46	3, 44, 45	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  +_gcplusg 17367  0_gc0g 17549  Grpcgrp 19083  1_rcur 20346  Unitcui 20524  NzRingcnzr 20701  LRingclring 20729  DivRingcdr 20919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-nzr 20702  df-lring 20730  df-drng 20921

This theorem is used by: (None)