Theorem dflring2 33753

Description: Alternate definition of a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflring2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflring2.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflring2.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dflring2.4	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflring2	⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem dflring2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 20629	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		dflring2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		dflring2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
7		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ LRing)
8		lringring 20630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringabld 20369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Abel)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
11		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		dflring2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	2, 12, 8	ringidcld 20352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
15		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		dflring2.4	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑅)
17	2, 15, 16	ablpncan3 19889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
18	10, 11, 14, 17	syl12anc 849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
19	4, 12	1unit 20459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
20	8, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑈)
22	18, 21	eqeltrd 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) ∈ 𝑈)
23	8	ringgrpd 20327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
25	2, 16, 24, 14, 11	grpsubcld 33331	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 6, 7, 22, 11, 25	lringuplu 20632	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
27	26	ralrimiva 3164	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
28	1, 27	jca 520	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))
29		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
30		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31		nzrring 20602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
33	32	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Grp)
34	2, 12, 31	ringidcld 20352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝐵)
35	34	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 1 ∈ 𝐵)
36		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
39	31	ringabld 20369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Abel)
40	39	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Abel)
41	2, 15, 40, 37, 36	ablcomd 33335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 )
43	41, 42	eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 )
44	2, 15, 16	grpsubadd 19097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 1 − 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ))
45	44	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
46	33, 38, 43, 45	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
47	46	eqcomd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
49		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)
50	48, 49	eqeltrd 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
51		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
52	30, 50, 51	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))
53	52	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
54	53	ralrimiva 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	54	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
56	55	ralimdva 3184	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
57	56	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	2, 15, 12, 4	islring 20628	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
59	29, 57, 58	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	28, 59	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  Grpcgrp 19003  -_gcsg 19005  Abelcabl 19854  1_rcur 20266  Ringcrg 20318  Unitcui 20440  NzRingcnzr 20598  LRingclring 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-nzr 20599  df-lring 20627

This theorem is referenced by:  dflring3  33757