Theorem dflring2 34025

Description: Alternate definition of a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflring2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflring2.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflring2.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dflring2.4	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflring2	⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem dflring2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 20793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		dflring2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		dflring2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ LRing)
8		lringring 20794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringabld 20512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Abel)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		dflring2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	2, 12, 8	ringidcld 20495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		dflring2.4	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑅)
17	2, 15, 16	ablpncan3 20030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
18	10, 11, 14, 17	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
19	4, 12	1unit 20604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
20	8, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑈)
22	18, 21	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) ∈ 𝑈)
23	8	ringgrpd 20469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
25	2, 16, 24, 14, 11	grpsubcld 33602	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 6, 7, 22, 11, 25	lringuplu 20796	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
27	26	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
28	1, 27	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))
29		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31		nzrring 20766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
33	32	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Grp)
34	2, 12, 31	ringidcld 20495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝐵)
35	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 1 ∈ 𝐵)
36		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
39	31	ringabld 20512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Abel)
40	39	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Abel)
41	2, 15, 40, 37, 36	ablcomd 33606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 )
43	41, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 )
44	2, 15, 16	grpsubadd 19238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 1 − 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ))
45	44	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
46	33, 38, 43, 45	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
47	46	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
49		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)
50	48, 49	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
51		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
52	30, 50, 51	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))
53	52	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
54	53	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
56	55	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
57	56	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	2, 15, 12, 4	islring 20792	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
59	29, 57, 58	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	28, 59	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  Abelcabl 19995  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  Unitcui 20585  NzRingcnzr 20762  LRingclring 20790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-lring 20791

This theorem is used by:  dflring3  34029