Theorem dflring2 33690

Description: Alternate definition of a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflring2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflring2.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflring2.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dflring2.4	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflring2	⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem dflring2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 20592	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		dflring2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		dflring2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
7		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ LRing)
8		lringring 20593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringabld 20334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Abel)
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
11		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		dflring2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	2, 12, 8	ringidcld 20317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		dflring2.4	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑅)
17	2, 15, 16	ablpncan3 19857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
18	10, 11, 14, 17	syl12anc 847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
19	4, 12	1unit 20424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
20	8, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑈)
22	18, 21	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) ∈ 𝑈)
23	8	ringgrpd 20293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
25	2, 16, 24, 14, 11	grpsubcld 33221	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 6, 7, 22, 11, 25	lringuplu 20595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
27	26	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
28	1, 27	jca 519	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))
29		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
30		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31		nzrring 20567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
33	32	ad4antr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Grp)
34	2, 12, 31	ringidcld 20317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝐵)
35	34	ad4antr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 1 ∈ 𝐵)
36		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3jca 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
39	31	ringabld 20334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Abel)
40	39	ad4antr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Abel)
41	2, 15, 40, 37, 36	ablcomd 33226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 )
43	41, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 )
44	2, 15, 16	grpsubadd 19071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 1 − 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ))
45	44	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
46	33, 38, 43, 45	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
47	46	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
49		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)
50	48, 49	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
51		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
52	30, 50, 51	orim12da 978	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))
53	52	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
54	53	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	54	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
56	55	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
57	56	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	2, 15, 12, 4	islring 20591	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
59	29, 57, 58	sylanbrc 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	28, 59	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287  Grpcgrp 18976  -_gcsg 18978  Abelcabl 19822  1_rcur 20232  Ringcrg 20284  Unitcui 20405  NzRingcnzr 20563  LRingclring 20589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-0g 17471  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-nzr 20564  df-lring 20590

This theorem is referenced by:  dflring3  33694