Theorem dflring2 33936

Description: Alternate definition of a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflring2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflring2.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflring2.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dflring2.4	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflring2	⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem dflring2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 20732	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		dflring2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		dflring2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ LRing)
8		lringring 20733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringabld 20451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Abel)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		dflring2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	2, 12, 8	ringidcld 20434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		dflring2.4	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑅)
17	2, 15, 16	ablpncan3 19969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
18	10, 11, 14, 17	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
19	4, 12	1unit 20543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
20	8, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑈)
22	18, 21	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) ∈ 𝑈)
23	8	ringgrpd 20408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
25	2, 16, 24, 14, 11	grpsubcld 33513	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 6, 7, 22, 11, 25	lringuplu 20735	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
27	26	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
28	1, 27	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))
29		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31		nzrring 20705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
33	32	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Grp)
34	2, 12, 31	ringidcld 20434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝐵)
35	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 1 ∈ 𝐵)
36		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
39	31	ringabld 20451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Abel)
40	39	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Abel)
41	2, 15, 40, 37, 36	ablcomd 33517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 )
43	41, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 )
44	2, 15, 16	grpsubadd 19177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 1 − 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ))
45	44	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
46	33, 38, 43, 45	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
47	46	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
49		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)
50	48, 49	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
51		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
52	30, 50, 51	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))
53	52	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
54	53	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
56	55	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
57	56	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	2, 15, 12, 4	islring 20731	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
59	29, 57, 58	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	28, 59	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  +_gcplusg 17367  Grpcgrp 19083  -_gcsg 19085  Abelcabl 19934  1_rcur 20346  Ringcrg 20398  Unitcui 20524  NzRingcnzr 20701  LRingclring 20729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-nzr 20702  df-lring 20730

This theorem is used by:  dflring3  33940