Theorem dflring2 33888

Description: Alternate definition of a local ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflring2.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflring2.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dflring2.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
dflring2.4	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflring2	⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem dflring2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lringnzr 20702	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		dflring2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		dflring2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ LRing)
8		lringring 20703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	ringabld 20423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Abel)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		dflring2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	2, 12, 8	ringidcld 20406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝐵)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		dflring2.4	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑅)
17	2, 15, 16	ablpncan3 19942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
18	10, 11, 14, 17	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) = 1 )
19	4, 12	1unit 20514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
20	8, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 1 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝑈)
22	18, 21	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)( 1 − 𝑥)) ∈ 𝑈)
23	8	ringgrpd 20380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
25	2, 16, 24, 14, 11	grpsubcld 33466	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 6, 7, 22, 11, 25	lringuplu 20705	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
27	26	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
28	1, 27	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LRing → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))
29		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ NzRing)
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31		nzrring 20675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
32	31	ringgrpd 20380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
33	32	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Grp)
34	2, 12, 31	ringidcld 20406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ∈ 𝐵)
35	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 1 ∈ 𝐵)
36		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
39	31	ringabld 20423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Abel)
40	39	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑅 ∈ Abel)
41	2, 15, 40, 37, 36	ablcomd 33470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)𝑦))
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 )
43	41, 42	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 )
44	2, 15, 16	grpsubadd 19150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 1 − 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ))
45	44	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
46	33, 38, 43, 45	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → ( 1 − 𝑥) = 𝑦)
47	46	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 = ( 1 − 𝑥))
49		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)
50	48, 49	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) ∧ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
51		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈))
52	30, 50, 51	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 ) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))
53	52	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
54	53	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
56	55	ralimdva 3176	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
57	56	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	2, 15, 12, 4	islring 20701	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = 1 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ 𝑦 ∈ 𝑈))))
59	29, 57, 58	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ LRing)
60	28, 59	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ LRing ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑈 ∨ ( 1 − 𝑥) ∈ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  Grpcgrp 19056  -_gcsg 19058  Abelcabl 19907  1_rcur 20319  Ringcrg 20371  Unitcui 20495  NzRingcnzr 20671  LRingclring 20699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-nzr 20672  df-lring 20700

This theorem is used by:  dflring3  33892