MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcl 18952
Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcl.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcl.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvrcl
StepHypRef Expression
1 dvrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2764 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcl.o . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2764 . . . 4 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcl.d . . . 4 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 18951 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1160 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
83, 4, 1ringinvcl 18942 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
983adant2 1161 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
101, 2ringcl 18827 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
119, 10syld3an3 1528 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
127, 11eqeltrd 2843 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  .rcmulr 16216  Ringcrg 18813  Unitcui 18905  invrcinvr 18937  /rcdvr 18948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-tpos 7554  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-0g 16369  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-oppr 18889  df-dvdsr 18907  df-unit 18908  df-invr 18938  df-dvr 18949
This theorem is referenced by:  irredrmul  18973  isdrng2  19025  cnflddiv  20048  qsssubdrg  20077  cvsdivcl  23210  sum2dchr  25289  rdivmuldivd  30172  isarchiofld  30198  qqhf  30411
  Copyright terms: Public domain W3C validator