MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcl 19430
Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcl.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcl.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvrcl
StepHypRef Expression
1 dvrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2821 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcl.o . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2821 . . . 4 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcl.d . . . 4 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 19429 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1126 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
83, 4, 1ringinvcl 19420 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
983adant2 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
101, 2ringcl 19305 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
119, 10syld3an3 1405 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
127, 11eqeltrd 2913 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  .rcmulr 16560  Ringcrg 19291  Unitcui 19383  invrcinvr 19415  /rcdvr 19426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427
This theorem is referenced by:  irredrmul  19451  isdrng2  19506  cnflddiv  20569  qsssubdrg  20598  cvsdivcl  23731  sum2dchr  25844  rdivmuldivd  30857  isarchiofld  30885  qqhf  31222
  Copyright terms: Public domain W3C validator