MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcl 18894
Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcl.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcl.d / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvrcl
StepHypRef Expression
1 dvrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcl.o . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2771 . . . 4 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcl.d . . . 4 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 18893 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1124 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
83, 4, 1ringinvcl 18884 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
983adant2 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
101, 2ringcl 18769 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
119, 10syld3an3 1515 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
127, 11eqeltrd 2850 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Ringcrg 18755  Unitcui 18847  invrcinvr 18879  /rcdvr 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891
This theorem is referenced by:  irredrmul  18915  isdrng2  18967  cnflddiv  19991  qsssubdrg  20020  cvsdivcl  23152  sum2dchr  25220  rdivmuldivd  30131  isarchiofld  30157  qqhf  30370
  Copyright terms: Public domain W3C validator