Theorem dvrcl 19492

Description: Closure of division operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrcl.o	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrcl.d	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcl.o	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcl.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrval 19491	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
7	6	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
8	3, 4, 1	ringinvcl 19482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	8	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 2	ringcl 19367	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
12	7, 11	eqeltrd 2851	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  ._rcmulr 16609  Ringcrg 19350  Unitcui 19445  inv_rcinvr 19477  /_rcdvr 19488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-oppr 19429  df-dvdsr 19447  df-unit 19448  df-invr 19478  df-dvr 19489

This theorem is referenced by:  irredrmul  19513  isdrng2  19565  cnflddiv  20181  qsssubdrg  20210  cvsdivcl  23819  sum2dchr  25942  rdivmuldivd  30999  isarchiofld  31027  qqhf  31440