Theorem el0ldepsnzr 47448

Description: A set containing the zero element of a module over a nonzero ring is always linearly dependent. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
el0ldepsnzr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Proof of Theorem el0ldepsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	isnzr2hash 20440	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing ↔ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
4	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
6	5	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
7	1, 6	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
8		el0ldep 47447	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)
9	7, 8	syld3an1 1408	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  1c1 11125   < clt 11264  ♯chash 14307  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221  0_gc0g 17406  Ringcrg 20157  NzRingcnzr 20433  LModclmod 20725   linDepS clindeps 47422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-hash 14308  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-nzr 20434  df-lmod 20727  df-linc 47387  df-lininds 47423  df-lindeps 47425

This theorem is referenced by: (None)