Theorem el0ldepsnzr 43275

Description: A set containing the zero element of a module over a nonzero ring is always linearly dependent. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
el0ldepsnzr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Proof of Theorem el0ldepsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	isnzr2hash 19661	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing ↔ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
4	3	simprbi 492	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5	4	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
6	5	3ad2ant1 1124	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
7	1, 6	jca 507	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
8		el0ldep 43274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)
9	7, 8	syld3an1 1478	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2107  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  1c1 10273   < clt 10411  ♯chash 13435  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  0_gc0g 16486  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  NzRingcnzr 19654   linDepS clindeps 43249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-nzr 19655  df-linc 43214  df-lininds 43250  df-lindeps 43252

This theorem is referenced by: (None)