Theorem el0ldepsnzr 47138

Description: A set containing the zero element of a module over a nonzero ring is always linearly dependent. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
el0ldepsnzr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Proof of Theorem el0ldepsnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1197	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
3	2	isnzr2hash 20297	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing ↔ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
4	3	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
7	1, 6	jca 512	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
8		el0ldep 47137	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (♯‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)
9	7, 8	syld3an1 1410	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  1c1 11110   < clt 11247  ♯chash 14289  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17384  Ringcrg 20055  NzRingcnzr 20290  LModclmod 20470   linDepS clindeps 47112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-nzr 20291  df-lmod 20472  df-linc 47077  df-lininds 47113  df-lindeps 47115

This theorem is referenced by: (None)