Theorem binomcxplemcvg 41972

Description: Lemma for binomcxp 41975. The sum in binomcxplemnn0 41967 and its derivative (see the next theorem, binomcxplemdvsum 41973) converge, as long as their base 𝐽 is within the disk of convergence. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemcvg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏,𝑘   𝐽,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝐽   𝜑,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5	3, 4	bcccl 41957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
6		binomcxplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7	5, 6	fmptd 6988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
9		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
11	10	eleq2i 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ 𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
12		absf 15049	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13		ffn 6600	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
14		elpreima 6935	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
16	11, 15	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
17	16	simplbi 498	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → 𝐽 ∈ ℂ)
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐽 ∈ ℂ)
19	16	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))
20		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ssrab2 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
22		ressxr 11019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
23	21, 22	sstri 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
24		supxrcl 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
26	9, 25	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
27		elico2 13143	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅)))
28	20, 26, 27	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅))
29	28	simp3bi 1146	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
30	19, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) < 𝑅)
31	30	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
32	1, 8, 9, 18, 31	radcnvlt2 25578	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
33		binomcxplem.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
35		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝐽)
36	35	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝐽↑(𝑘 − 1)))
37	36	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
38	37	mpteq2dva 5174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
39		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐽 ∈ ℂ)
40		nnex 11979	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 7099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
43	34, 38, 39, 42	fvmptd 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
44	17, 43	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
45	44	seqeq3d 13729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))))
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
47	1, 9, 46, 8, 18, 31	dvradcnv2 41965	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))) ∈ dom ⇝ )
48	45, 47	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
49	32, 48	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  [,)cico 13081  seqcseq 13721  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ⇝ cli 15193  C_𝑐cbcc 41954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-fallfac 15717  df-bcc 41955

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  41974