Theorem binomcxplemcvg 42624

Description: Lemma for binomcxp 42627. The sum in binomcxplemnn0 42619 and its derivative (see the next theorem, binomcxplemdvsum 42625) converge, as long as their base 𝐽 is within the disk of convergence. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemcvg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏,𝑘   𝐽,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝐽   𝜑,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5	3, 4	bcccl 42609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
6		binomcxplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7	5, 6	fmptd 7062	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
9		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
11	10	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ 𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
12		absf 15222	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
14		elpreima 7008	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
16	11, 15	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
17	16	simplbi 498	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → 𝐽 ∈ ℂ)
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐽 ∈ ℂ)
19	16	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))
20		0re 11157	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ssrab2 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
22		ressxr 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
23	21, 22	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
24		supxrcl 13234	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
26	9, 25	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
27		elico2 13328	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅)))
28	20, 26, 27	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅))
29	28	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
30	19, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) < 𝑅)
31	30	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
32	1, 8, 9, 18, 31	radcnvlt2 25778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
33		binomcxplem.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
35		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝐽)
36	35	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝐽↑(𝑘 − 1)))
37	36	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
38	37	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
39		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐽 ∈ ℂ)
40		nnex 12159	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
43	34, 38, 39, 42	fvmptd 6955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
44	17, 43	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
45	44	seqeq3d 13914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))))
46		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
47	1, 9, 46, 8, 18, 31	dvradcnv2 42617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))) ∈ dom ⇝ )
48	45, 47	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
49	32, 48	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ⇝ cli 15366  C_𝑐cbcc 42606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-fallfac 15890  df-bcc 42607

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  42626