Theorem binomcxplemcvg 43099

Description: Lemma for binomcxp 43102. The sum in binomcxplemnn0 43094 and its derivative (see the next theorem, binomcxplemdvsum 43100) converge, as long as their base 𝐽 is within the disk of convergence. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemcvg	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏,𝑘   𝐽,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝐽   𝜑,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		binomcxp.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
5	3, 4	bcccl 43084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
6		binomcxplem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7	5, 6	fmptd 7111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
8	7	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
9		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10		binomcxplem.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
11	10	eleq2i 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ 𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
12		absf 15281	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
13		ffn 6715	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
14		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
16	11, 15	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
17	16	simplbi 499	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → 𝐽 ∈ ℂ)
18	17	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → 𝐽 ∈ ℂ)
19	16	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))
20		0re 11213	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ssrab2 4077	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
22		ressxr 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
23	21, 22	sstri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
24		supxrcl 13291	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
26	9, 25	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
27		elico2 13385	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅)))
28	20, 26, 27	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅))
29	28	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
30	19, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (abs‘𝐽) < 𝑅)
31	30	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
32	1, 8, 9, 18, 31	radcnvlt2 25923	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
33		binomcxplem.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
35		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝐽)
36	35	oveq1d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝐽↑(𝑘 − 1)))
37	36	oveq2d 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
38	37	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
39		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → 𝐽 ∈ ℂ)
40		nnex 12215	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 7222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
43	34, 38, 39, 42	fvmptd 7003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
44	17, 43	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
45	44	seqeq3d 13971	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))))
46		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
47	1, 9, 46, 8, 18, 31	dvradcnv2 43092	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))) ∈ dom ⇝ )
48	45, 47	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ )
49	32, 48	jca 513	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝐽)) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  supcsup 9432  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  ℝ⁺crp 12971  [,)cico 13323  seqcseq 13963  ↑cexp 14024  abscabs 15178   ⇝ cli 15425  C_𝑐cbcc 43081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-fallfac 15948  df-bcc 43082

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  43101