Theorem elspansn4 29029

Description: A span membership condition implying two vectors belong to the same subspace. (Contributed by NM, 17-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elspansn4	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elspansn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn3 29028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐶 ∈ 𝐴)
2	1	3exp 1110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐴)))
3	2	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴)))
4	3	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	4	ad2ant2r 743	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴))
6		spansnid 29019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
7	6	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
8		spansneleq 29026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐶}) = (span‘{𝐵})))
9	8	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → (span‘{𝐶}) = (span‘{𝐵}))
10	7, 9	eleqtrrd 2884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (span‘{𝐶}))
11		elspansn3 29028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	3expia 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝐵 ∈ 𝐴))
13	10, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ 𝐴))
14	13	exp4b 431	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐴))))
15	14	com24 95	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
16	15	exp4a 432	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ≠ 0ℎ → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))))
17	16	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐶 ≠ 0ℎ → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))))
18	17	imp43 428	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
19	5, 18	impbid 213	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  {csn 4466  ‘cfv 6217   ℋchba 28375  0_ℎc0v 28380   S_ℋ csh 28384  spancspn 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cc 9692  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452  ax-hilex 28455  ax-hfvadd 28456  ax-hvcom 28457  ax-hvass 28458  ax-hv0cl 28459  ax-hvaddid 28460  ax-hfvmul 28461  ax-hvmulid 28462  ax-hvmulass 28463  ax-hvdistr1 28464  ax-hvdistr2 28465  ax-hvmul0 28466  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his2 28539  ax-his3 28540  ax-his4 28541  ax-hcompl 28658

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-omul 7949  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-acn 9206  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-lm 21509  df-haus 21595  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cfil 23529  df-cau 23530  df-cmet 23531  df-grpo 27949  df-gid 27950  df-ginv 27951  df-gdiv 27952  df-ablo 28001  df-vc 28015  df-nv 28048  df-va 28051  df-ba 28052  df-sm 28053  df-0v 28054  df-vs 28055  df-nmcv 28056  df-ims 28057  df-dip 28157  df-ssp 28178  df-ph 28269  df-cbn 28319  df-hnorm 28424  df-hba 28425  df-hvsub 28427  df-hlim 28428  df-hcau 28429  df-sh 28663  df-ch 28677  df-oc 28708  df-ch0 28709  df-span 28765

This theorem is referenced by:  elspansn5  29030