Theorem elspansn4 32038

Description: A span membership condition implying two vectors belong to the same subspace. (Contributed by NM, 17-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elspansn4	⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elspansn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elspansn3 32037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐶 ∈ 𝐴)
2	1	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → 𝐶 ∈ 𝐴)))
3	2	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴)))
4	3	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴))
5	4	ad2ant2r 760	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐴))
6		spansnid 32028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
8		spansneleq 32035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (span‘{𝐶}) = (span‘{𝐵})))
9	8	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → (span‘{𝐶}) = (span‘{𝐵}))
10	7, 9	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (span‘{𝐶}))
11		elspansn3 32037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐶})) → 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝐵 ∈ 𝐴))
13	10, 12	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) ∧ 𝐶 ∈ (span‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ 𝐴))
14	13	exp4b 436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → 𝐵 ∈ 𝐴))))
15	14	com24 96	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))))
16	15	exp4a 437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ≠ 0ℎ → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))))
17	16	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) → (𝐶 ≠ 0ℎ → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴)))))
18	17	imp43 433	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
19	5, 18	impbid 215	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ (span‘{𝐵}) ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {csn 4587  ‘cfv 6537   ℋchba 31384  0_ℎc0v 31389   S_ℋ csh 31393  spancspn 31397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-hilex 31464  ax-hfvadd 31465  ax-hvcom 31466  ax-hvass 31467  ax-hv0cl 31468  ax-hvaddid 31469  ax-hfvmul 31470  ax-hvmulid 31471  ax-hvmulass 31472  ax-hvdistr1 31473  ax-hvdistr2 31474  ax-hvmul0 31475  ax-hfi 31544  ax-his1 31547  ax-his2 31548  ax-his3 31549  ax-his4 31550  ax-hcompl 31667

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-mulg 19190  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-lm 23453  df-haus 23539  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-cfil 25482  df-cau 25483  df-cmet 25484  df-grpo 30958  df-gid 30959  df-ginv 30960  df-gdiv 30961  df-ablo 31010  df-vc 31024  df-nv 31057  df-va 31060  df-ba 31061  df-sm 31062  df-0v 31063  df-vs 31064  df-nmcv 31065  df-ims 31066  df-dip 31166  df-ssp 31187  df-ph 31278  df-cbn 31328  df-hnorm 31433  df-hba 31434  df-hvsub 31436  df-hlim 31437  df-hcau 31438  df-sh 31672  df-ch 31686  df-oc 31717  df-ch0 31718  df-span 31774

This theorem is used by:  elspansn5  32039