Theorem lspsneu 21173

Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneu.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneu.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
lspsneu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspsneu	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem lspsneu

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneu.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneu.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
3		lspsneu.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		lspsneu.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
5		lspsneu.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lspsneu.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsneu.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspsneu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lspsneu.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	lspsneq 21172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
12	11	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
13		eqtr2 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
14	13	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
15		lspsneu.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16		simp1l 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝜑)
17	16, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
18		simp2l 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
19	18	eldifad 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
20		simp2r 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
21	20	eldifad 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ 𝐾)
22	16, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
24	16, 9, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ≠ 0 )
25	1, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24	lvecvscan2 21162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌) ↔ 𝑗 = 𝑖))
26	14, 25	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 = 𝑖)
27	26	3exp 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
28	27	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
29	28	ralrimdvv 3205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
30	12, 29	jcad 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
31		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32	31	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)))
33	32	reu4 3693	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
34	30, 33	imbitrrdi 254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
35		reurex 3370	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
36	35, 11	imbitrrid 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
37	34, 36	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
38		oveq1 7399	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
39	38	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
40	39	cbvreuvw 3388	. 2 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
41	37, 40	bitrdi 289	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364   ∖ cdif 3901  {csn 4581  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  0_gc0g 17451  LSpanclspn 21018  LVecclvec 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150

This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  42458