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Theorem lspsneu 21125
Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneu.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneu.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneu.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneu.o 𝑂 = (0g𝑆)
lspsneu.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsneu.z 0 = (0g𝑊)
lspsneu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneu.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsneu.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsneu.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspsneu (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem lspsneu
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneu.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsneu.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
3 lspsneu.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 lspsneu.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝑆)
5 lspsneu.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lspsneu.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspsneu.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lspsneu.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 lspsneu.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3963 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10lspsneq 21124 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
1211biimpd 229 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
13 eqtr2 2761 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
14133ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
15 lspsneu.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
16 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝜑)
1716, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
18 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
1918eldifad 3963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗𝐾)
20 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
2120eldifad 3963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖𝐾)
2216, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌𝑉)
23 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
2416, 9, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌0 )
251, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24lvecvscan2 21114 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌) ↔ 𝑗 = 𝑖))
2614, 25mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 = 𝑖)
27263exp 1120 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
2827ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
2928ralrimdvv 3203 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
3012, 29jcad 512 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
31 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
3231eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)))
3332reu4 3737 . . . 4 (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
3430, 33imbitrrdi 252 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
35 reurex 3384 . . . 4 (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
3635, 11imbitrrid 246 . . 3 (𝜑 → (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3734, 36impbid 212 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
38 oveq1 7438 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
3938eqeq2d 2748 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
4039cbvreuvw 3404 . 2 (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
4137, 40bitrdi 287 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  41872
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