Theorem lspsneu 20300

Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneu.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneu.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
lspsneu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspsneu	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem lspsneu

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneu.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneu.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
3		lspsneu.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		lspsneu.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
5		lspsneu.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lspsneu.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsneu.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspsneu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lspsneu.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	lspsneq 20299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
12	11	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
13		eqtr2 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
14	13	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
15		lspsneu.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16		simp1l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝜑)
17	16, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
18		simp2l 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
19	18	eldifad 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
20		simp2r 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
21	20	eldifad 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ 𝐾)
22	16, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		eldifsni 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
24	16, 9, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ≠ 0 )
25	1, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24	lvecvscan2 20289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌) ↔ 𝑗 = 𝑖))
26	14, 25	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 = 𝑖)
27	26	3exp 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
28	27	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
29	28	ralrimdvv 3116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
30	12, 29	jcad 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
31		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32	31	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)))
33	32	reu4 3661	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
34	30, 33	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
35		reurex 3352	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
36	35, 11	syl5ibr 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
37	34, 36	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
38		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
39	38	eqeq2d 2749	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
40	39	cbvreuvw 3375	. 2 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
41	37, 40	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  39811