MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneu 20587
Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneu.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneu.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsneu.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
lspsneu.o 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
lspsneu.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsneu.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneu.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneu.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneu.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspsneu (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑂   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑁(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)

Proof of Theorem lspsneu
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneu.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspsneu.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lspsneu.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
4 lspsneu.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
5 lspsneu.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lspsneu.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lspsneu.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspsneu.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 lspsneu.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10lspsneq 20586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
13 eqtr2 2761 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
14133ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
15 lspsneu.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ πœ‘)
1716, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
1918eldifad 3923 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
20 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
2120eldifad 3923 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ 𝐾)
2216, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
23 eldifsni 4751 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
2416, 9, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ β‰  0 )
251, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24lvecvscan2 20576 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ) ↔ 𝑗 = 𝑖))
2614, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 = 𝑖)
27263exp 1120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
2827ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
2928ralrimdvv 3199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3012, 29jcad 514 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
31 oveq1 7365 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
3231eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)))
3332reu4 3690 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3430, 33syl6ibr 252 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
35 reurex 3358 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ))
3635, 11syl5ibr 246 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
3734, 36impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
38 oveq1 7365 . . . 4 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (π‘˜ Β· π‘Œ))
3938eqeq2d 2748 . . 3 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
4039cbvreuvw 3378 . 2 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ))
4137, 40bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3352   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  0gc0g 17322  LSpanclspn 20435  LVecclvec 20566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567
This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  40336
  Copyright terms: Public domain W3C validator