Theorem lspsneu 21228

Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsneu.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lspsneu.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lspsneu.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
lspsneu.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsneu.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsneu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsneu.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsneu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspsneu	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   · ,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem lspsneu

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneu.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsneu.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
3		lspsneu.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		lspsneu.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
5		lspsneu.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lspsneu.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsneu.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspsneu.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		lspsneu.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	lspsneq 21227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
12	11	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
13		eqtr2 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
15		lspsneu.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝜑)
17	16, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
18		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
19	18	eldifad 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ 𝐾)
20		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}))
21	20	eldifad 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑖 ∈ 𝐾)
22	16, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
23		eldifsni 4759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
24	16, 9, 23	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑌 ≠ 0 )
25	1, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24	lvecvscan2 21217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → ((𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌) ↔ 𝑗 = 𝑖))
26	14, 25	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌))) → 𝑗 = 𝑖)
27	26	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
28	27	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})) → ((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
29	28	ralrimdvv 3209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
30	12, 29	jcad 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖))))
31		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑖 · 𝑌))
32	31	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)))
33	32	reu4 3695	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ (∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ ∀𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})∀𝑖 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})((𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ∧ 𝑋 = (𝑖 · 𝑌)) → 𝑗 = 𝑖)))
34	30, 33	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
35		reurex 3373	. . . 4 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → ∃𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌))
36	35, 11	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
37	34, 36	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌)))
38		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 · 𝑌) = (𝑘 · 𝑌))
39	38	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))
40	39	cbvreuvw 3391	. 2 ⊢ (∃!𝑗 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑗 · 𝑌) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌))
41	37, 40	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) ↔ ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ {𝑂})𝑋 = (𝑘 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  LSpanclspn 21073  LVecclvec 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205

This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  42622