MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsneu 20736
Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneu.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneu.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsneu.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
lspsneu.o 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
lspsneu.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsneu.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneu.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneu.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneu.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspsneu (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑂   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑁(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)
Proof of Theorem lspsneu
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneu.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspsneu.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lspsneu.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
4 lspsneu.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
5 lspsneu.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lspsneu.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lspsneu.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspsneu.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 lspsneu.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10lspsneq 20735 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
13 eqtr2 2757 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
14133ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
15 lspsneu.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ πœ‘)
1716, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
1918eldifad 3961 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
20 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
2120eldifad 3961 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ 𝐾)
2216, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
23 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
2416, 9, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ β‰  0 )
251, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24lvecvscan2 20725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ) ↔ 𝑗 = 𝑖))
2614, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 = 𝑖)
27263exp 1120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
2827ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
2928ralrimdvv 3202 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3012, 29jcad 514 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
31 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
3231eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)))
3332reu4 3728 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3430, 33syl6ibr 252 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
35 reurex 3381 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ))
3635, 11imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
3734, 36impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
38 oveq1 7416 . . . 4 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (π‘˜ Β· π‘Œ))
3938eqeq2d 2744 . . 3 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
4039cbvreuvw 3401 . 2 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ))
4137, 40bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆƒ!wreu 3375   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  40741
  Copyright terms: Public domain W3C validator