MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneu Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsneu 20881
Description: Nonzero vectors with equal singleton spans have a unique proportionality constant. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsneu.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsneu.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsneu.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
lspsneu.o 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
lspsneu.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsneu.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsneu.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspsneu.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspsneu.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsneu.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspsneu (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑂   Β· ,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑁(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)
Proof of Theorem lspsneu
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsneu.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspsneu.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lspsneu.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
4 lspsneu.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜π‘†)
5 lspsneu.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lspsneu.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lspsneu.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspsneu.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 lspsneu.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10lspsneq 20880 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
13 eqtr2 2754 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
14133ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
15 lspsneu.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 simp1l 1195 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ πœ‘)
1716, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
18 simp2l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
1918eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐾)
20 simp2r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}))
2120eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑖 ∈ 𝐾)
2216, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
23 eldifsni 4792 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ π‘Œ β‰  0 )
2416, 9, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ β‰  0 )
251, 5, 2, 3, 15, 17, 19, 21, 22, 24lvecvscan2 20870 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ ((𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ) ↔ 𝑗 = 𝑖))
2614, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) ∧ (𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) ∧ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑗 = 𝑖)
27263exp 1117 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
2827ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ ((𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂}) ∧ 𝑖 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})) β†’ ((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
2928ralrimdvv 3199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3012, 29jcad 511 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖))))
31 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (𝑖 Β· π‘Œ))
3231eqeq2d 2741 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)))
3332reu4 3726 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ βˆ€π‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})βˆ€π‘– ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})((𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ∧ 𝑋 = (𝑖 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑗 = 𝑖)))
3430, 33imbitrrdi 251 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
35 reurex 3378 . . . 4 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ))
3635, 11imbitrrid 245 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
3734, 36impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ)))
38 oveq1 7418 . . . 4 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 Β· π‘Œ) = (π‘˜ Β· π‘Œ))
3938eqeq2d 2741 . . 3 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
4039cbvreuvw 3398 . 2 (βˆƒ!𝑗 ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (𝑗 Β· π‘Œ) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ))
4137, 40bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ βˆƒ!π‘˜ ∈ (𝐾 βˆ– {𝑂})𝑋 = (π‘˜ Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  hdmap14lem3  41044
  Copyright terms: Public domain W3C validator