MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumm1 15096
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumm1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumm1
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 12242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 fzsn 12939 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
65ineq2d 4193 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}))
73zred 12076 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87ltm1d 11561 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) < 𝑁)
9 fzdisj 12924 . . . . 5 ((𝑁 − 1) < 𝑁 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
116, 10eqtr3d 2863 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 12237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 12014 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 12077 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 npcan 10884 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2019fveq2d 6671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
211, 20eleqtrrd 2921 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
22 eluzp1m1 12257 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
24 fzsuc2 12955 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2513, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
263zcnd 12077 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 npcan 10884 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2826, 17, 27sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2928oveq2d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
3025, 29eqtr3d 2863 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑁))
3128sneqd 4576 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
3231uneq2d 4143 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
3330, 32eqtr3d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
34 fzfid 13331 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
35 fsumm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3611, 33, 34, 35fsumsplit 15087 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
37 fsumm1.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3837eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3935ralrimiva 3187 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
40 eluzfz2 12905 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
411, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4238, 39, 41rspcdva 3629 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4337sumsn 15091 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
441, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
4544oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
4636, 45eqtrd 2861 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3938  cin 3939  c0 4295  {csn 4564   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cmin 10859  cz 11970  cuz 12232  ...cfz 12882  Σcsu 15032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033
This theorem is referenced by:  fzosump1  15097  fsump1  15101  telfsumo  15147  fsumparts  15151  binom1dif  15178  pwdif  15213  bpolysum  15397  bpolydiflem  15398  pwp1fsum  15732  prmreclem4  16245  ovolicc2lem4  24036  dvfsumlem1  24538  abelthlem6  24939  log2ublem2  25439  harmonicbnd4  25502  ftalem1  25564  ftalem5  25568  chpp1  25646  1sgmprm  25689  chtublem  25701  logdivbnd  26046  pntrlog2bndlem1  26067  knoppndvlem15  33749  mettrifi  34900  fzosumm1  38991  stoweidlem17  42168  nnsum4primeseven  43797  nnsum4primesevenALTV  43798
  Copyright terms: Public domain W3C validator