MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumm1 15784
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumm1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsumm1
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 12886 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 fzsn 13603 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
65ineq2d 4228 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}))
73zred 12720 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87ltm1d 12198 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) < 𝑁)
9 fzdisj 13588 . . . . 5 ((𝑁 − 1) < 𝑁 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (𝑁...𝑁)) = ∅)
116, 10eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 12881 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 12658 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 npcan 11515 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2019fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
211, 20eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
22 eluzp1m1 12902 . . . . . . 7 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
24 fzsuc2 13619 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2513, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
263zcnd 12721 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 npcan 11515 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2826, 17, 27sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2928oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
3025, 29eqtr3d 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = (𝑀...𝑁))
3128sneqd 4643 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
3231uneq2d 4178 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
3330, 32eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
34 fzfid 14011 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
35 fsumm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3611, 33, 34, 35fsumsplit 15774 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
37 fsumm1.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3837eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3935ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
40 eluzfz2 13569 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
411, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4238, 39, 41rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4337sumsn 15779 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
441, 42, 43syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
4544oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
4636, 45eqtrd 2775 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  fzosump1  15785  fsump1  15789  telfsumo  15835  fsumparts  15839  binom1dif  15866  pwdif  15901  bpolysum  16086  bpolydiflem  16087  pwp1fsum  16425  prmreclem4  16953  ovolicc2lem4  25569  dvfsumlem1  26081  abelthlem6  26495  log2ublem2  27005  harmonicbnd4  27069  ftalem1  27131  ftalem5  27135  chpp1  27213  1sgmprm  27258  chtublem  27270  logdivbnd  27615  pntrlog2bndlem1  27636  knoppndvlem15  36509  mettrifi  37744  sticksstones12a  42139  sticksstones12  42140  fzosumm1  42270  fz1sump1  42323  stoweidlem17  45973  nnsum4primeseven  47725  nnsum4primesevenALTV  47726
  Copyright terms: Public domain W3C validator