Theorem isumclim 15793

Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumclim	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	isum 15755	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		fclim 15589	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7		ffun 6739	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
9		isumclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10		funbrfv 6957	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
11	8, 9, 10	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
12	5, 11	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℂcc 11153   + caddc 11158  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  seqcseq 14042   ⇝ cli 15520  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  isummulc2  15798  isumadd  15803  isumsplit  15876  isumsup  15883  trirecip  15899  geolim2  15907  geoisum  15913  geoisumr  15914  geoisum1  15915  eftlub  16145  eflegeo  16157  rpnnen2lem9  16258  rpnnen2lem12  16261  aaliou3lem3  26386  pserulm  26465  abelthlem6  26480  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  abelthlem9  26484  logtaylsum  26703  leibpi  26985  leibpisum  26986  log2tlbnd  26988  lgamgulm2  27079  basellem9  27132  dchrvmaeq0  27548  dchrisum0re  27557  esumpcvgval  34079  knoppcnlem9  36502  geomcau  37766  stirlinglem12  46100  fourierdlem112  46233  sge0isummpt2  46447