Theorem isumclim 15730

Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumclim	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	isum 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		fclim 15526	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7		ffun 6694	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
9		isumclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10		funbrfv 6912	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
11	8, 9, 10	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
12	5, 11	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℂcc 11073   + caddc 11078  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  isummulc2  15735  isumadd  15740  isumsplit  15813  isumsup  15820  trirecip  15836  geolim2  15844  geoisum  15850  geoisumr  15851  geoisum1  15852  eftlub  16084  eflegeo  16096  rpnnen2lem9  16197  rpnnen2lem12  16200  aaliou3lem3  26259  pserulm  26338  abelthlem6  26353  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  abelthlem9  26357  logtaylsum  26577  leibpi  26859  leibpisum  26860  log2tlbnd  26862  lgamgulm2  26953  basellem9  27006  dchrvmaeq0  27422  dchrisum0re  27431  esumpcvgval  34075  knoppcnlem9  36496  geomcau  37760  stirlinglem12  46090  fourierdlem112  46223  sge0isummpt2  46437