Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim 15107
 Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumclim.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
isumclim (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim
StepHypRef Expression
1 isumclim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumclim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumclim.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4isum 15071 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6 fclim 14905 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7 ffun 6516 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
86, 7ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
9 isumclim.6 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10 funbrfv 6715 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
118, 9, 10mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
125, 11eqtrd 2861 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  Fun wfun 6348  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  ℂcc 10529   + caddc 10534  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  seqcseq 13364   ⇝ cli 14836  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  isummulc2  15112  isumadd  15117  isumsplit  15190  isumsup  15197  trirecip  15213  geolim2  15222  geoisum  15228  geoisumr  15229  geoisum1  15230  eftlub  15457  eflegeo  15469  rpnnen2lem9  15570  rpnnen2lem12  15573  aaliou3lem3  24867  pserulm  24944  abelthlem6  24958  abelthlem7  24960  abelthlem8  24961  abelthlem9  24962  logtaylsum  25176  leibpi  25453  leibpisum  25454  log2tlbnd  25456  lgamgulm2  25546  basellem9  25599  dchrvmaeq0  26013  dchrisum0re  26022  esumpcvgval  31242  knoppcnlem9  33743  geomcau  34921  stirlinglem12  42255  fourierdlem112  42388  sge0isummpt2  42599
 Copyright terms: Public domain W3C validator