Theorem isumclim 15771

Description: An infinite sum equals the value its series converges to. (Contributed by NM, 25-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumclim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumclim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isumclim	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumclim.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumclim.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	isum 15733	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6		fclim 15567	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
7		ffun 6708	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
9		isumclim.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵)
10		funbrfv 6926	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐵 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵))
11	8, 9, 10	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = 𝐵)
12	5, 11	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  ℂcc 11125   + caddc 11130  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  seqcseq 14017   ⇝ cli 15498  Σcsu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701

This theorem is referenced by:  isummulc2  15776  isumadd  15781  isumsplit  15854  isumsup  15861  trirecip  15877  geolim2  15885  geoisum  15891  geoisumr  15892  geoisum1  15893  eftlub  16125  eflegeo  16137  rpnnen2lem9  16238  rpnnen2lem12  16241  aaliou3lem3  26302  pserulm  26381  abelthlem6  26396  abelthlem7  26398  abelthlem8  26399  abelthlem9  26400  logtaylsum  26620  leibpi  26902  leibpisum  26903  log2tlbnd  26905  lgamgulm2  26996  basellem9  27049  dchrvmaeq0  27465  dchrisum0re  27474  esumpcvgval  34055  knoppcnlem9  36465  geomcau  37729  stirlinglem12  46062  fourierdlem112  46195  sge0isummpt2  46409