Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum0 15069
 Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1z 12000 . . . . 5 1 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4 0ss 4322 . . . . 5 ∅ ⊆ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6 simpr 488 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76, 1eleqtrdi 2924 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
8 c0ex 10624 . . . . . . 7 0 ∈ V
98fvconst2 6948 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11 noel 4269 . . . . . 6 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1211iffalsei 4449 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
1310, 12eqtr4di 2875 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
1411pm2.21i 119 . . . . 5 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
161, 3, 5, 13, 15zsum 15066 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))))
1716mptru 1545 . 2 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
18 fclim 14901 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19 ffun 6497 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2018, 19ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
21 serclim0 14925 . . . 4 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
23 funbrfv 6698 . . 3 (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0))
2420, 22, 23mp2 9 . 2 ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0
2517, 24eqtri 2845 1 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  ifcif 4439  {csn 4539   class class class wbr 5042   × cxp 5530  dom cdm 5532  Fun wfun 6328  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  seqcseq 13364   ⇝ cli 14832  Σcsu 15033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034 This theorem is referenced by:  sumz  15070  fsumf1o  15071  fsumcllem  15080  fsumadd  15087  fsum2d  15117  fsumrev2  15128  fsummulc2  15130  fsumconst  15136  modfsummod  15140  fsumabs  15147  telfsumo  15148  fsumparts  15152  fsumrelem  15153  fsumrlim  15157  fsumo1  15158  fsumiun  15167  isumsplit  15186  arisum  15206  arisum2  15207  pwdif  15214  bpoly0  15395  sumeven  15727  sumodd  15728  bitsinv1  15780  bitsinvp1  15787  prmreclem4  16244  prmreclem5  16245  gsumfsum  20156  fsumcn  23473  ovolfiniun  24103  volfiniun  24149  itg10  24290  itgfsum  24428  dvmptfsum  24576  abelthlem6  25029  logfac  25190  log2ublem3  25532  harmonicbnd3  25591  cht1  25748  dchrisumlem1  26071  dchrisumlem3  26073  logdivbnd  26138  pntrsumbnd2  26149  pntrlog2bndlem4  26162  finsumvtxdg2size  27338  esumpcvgval  31411  signsvf0  31924  signsvf1  31925  repr0  31956  breprexplemc  31977  tgoldbachgtda  32006  mettrifi  35153  rrncmslem  35228  mccl  42179  dvmptfprod  42526  dvnprodlem3  42529  sge0rnn0  42946  sge00  42954  sge0sn  42957
 Copyright terms: Public domain W3C validator