Theorem sum0 15769

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12946	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1z 12673	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		0ss 4423	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6, 1	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
8		c0ex 11284	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7241	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11		noel 4360	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
12	11	iffalsei 4558	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
13	10, 12	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
14	11	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 3, 5, 13, 15	zsum 15766	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
17	16	mptru 1544	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
18		fclim 15599	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19		ffun 6750	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
21		serclim0 15623	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
23		funbrfv 6971	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
24	20, 22, 23	mp2 9	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
25	17, 24	eqtri 2768	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  seqcseq 14052   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  sumz  15770  fsumf1o  15771  fsumcllem  15780  fsumadd  15788  fsum2d  15819  fsumrev2  15830  fsummulc2  15832  fsumconst  15838  modfsummod  15842  fsumabs  15849  telfsumo  15850  fsumparts  15854  fsumrelem  15855  fsumrlim  15859  fsumo1  15860  fsumiun  15869  isumsplit  15888  arisum  15908  arisum2  15909  pwdif  15916  bpoly0  16098  sumeven  16435  sumodd  16436  bitsinv1  16488  bitsinvp1  16495  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  gsumfsum  21475  fsumcn  24913  ovolfiniun  25555  volfiniun  25601  itg10  25742  itgfsum  25882  dvmptfsum  26033  abelthlem6  26498  logfac  26661  log2ublem3  27009  harmonicbnd3  27069  cht1  27226  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem3  27553  logdivbnd  27618  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem4  27642  finsumvtxdg2size  29586  esumpcvgval  34042  signsvf0  34557  signsvf1  34558  repr0  34588  breprexplemc  34609  tgoldbachgtda  34638  mettrifi  37717  rrncmslem  37792  deg1gprod  42097  sumcubes  42301  mccl  45519  dvmptfprod  45866  dvnprodlem3  45869  sge0rnn0  46289  sge00  46297  sge0sn  46300