MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum0 15720
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 12911 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1z 12638 . . . . 5 1 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4 0ss 4394 . . . . 5 ∅ ⊆ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6 simpr 483 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76, 1eleqtrdi 2836 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
8 c0ex 11249 . . . . . . 7 0 ∈ V
98fvconst2 7213 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11 noel 4330 . . . . . 6 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1211iffalsei 4533 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
1310, 12eqtr4di 2784 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
1411pm2.21i 119 . . . . 5 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
161, 3, 5, 13, 15zsum 15717 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))))
1716mptru 1541 . 2 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
18 fclim 15550 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19 ffun 6723 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2018, 19ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
21 serclim0 15574 . . . 4 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
23 funbrfv 6944 . . 3 (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0))
2420, 22, 23mp2 9 . 2 ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0
2517, 24eqtri 2754 1 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wss 3946  c0 4322  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5145   × cxp 5672  dom cdm 5674  Fun wfun 6540  wf 6542  cfv 6546  cc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  cn 12258  cz 12604  cuz 12868  seqcseq 14015  cli 15481  Σcsu 15685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686
This theorem is referenced by:  sumz  15721  fsumf1o  15722  fsumcllem  15731  fsumadd  15739  fsum2d  15770  fsumrev2  15781  fsummulc2  15783  fsumconst  15789  modfsummod  15793  fsumabs  15800  telfsumo  15801  fsumparts  15805  fsumrelem  15806  fsumrlim  15810  fsumo1  15811  fsumiun  15820  isumsplit  15839  arisum  15859  arisum2  15860  pwdif  15867  bpoly0  16047  sumeven  16384  sumodd  16385  bitsinv1  16437  bitsinvp1  16444  prmreclem4  16916  prmreclem5  16917  gsumfsum  21427  fsumcn  24876  ovolfiniun  25518  volfiniun  25564  itg10  25705  itgfsum  25844  dvmptfsum  25995  abelthlem6  26463  logfac  26625  log2ublem3  26973  harmonicbnd3  27033  cht1  27190  dchrisumlem1  27515  dchrisumlem3  27517  logdivbnd  27582  pntrsumbnd2  27593  pntrlog2bndlem4  27606  finsumvtxdg2size  29484  esumpcvgval  33924  signsvf0  34439  signsvf1  34440  repr0  34470  breprexplemc  34491  tgoldbachgtda  34520  mettrifi  37471  rrncmslem  37546  deg1gprod  41852  sumcubes  42040  mccl  45255  dvmptfprod  45602  dvnprodlem3  45605  sge0rnn0  46025  sge00  46033  sge0sn  46036
  Copyright terms: Public domain W3C validator