Theorem sum0 15630

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12777	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1z 12508	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		0ss 4349	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6, 1	eleqtrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
8		c0ex 11113	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7144	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11		noel 4287	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
12	11	iffalsei 4484	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
13	10, 12	eqtr4di 2786	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
14	11	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 3, 5, 13, 15	zsum 15627	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
17	16	mptru 1548	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
18		fclim 15462	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19		ffun 6659	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
21		serclim0 15486	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
23		funbrfv 6876	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
24	20, 22, 23	mp2 9	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
25	17, 24	eqtri 2756	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ifcif 4474  {csn 4575   class class class wbr 5093   × cxp 5617  dom cdm 5619  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016  ℕcn 12132  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  seqcseq 13910   ⇝ cli 15393  Σcsu 15595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596

This theorem is referenced by:  sumz  15631  fsumf1o  15632  fsumcllem  15641  fsumadd  15649  fsum2d  15680  fsumrev2  15691  fsummulc2  15693  fsumconst  15699  modfsummod  15703  fsumabs  15710  telfsumo  15711  fsumparts  15715  fsumrelem  15716  fsumrlim  15720  fsumo1  15721  fsumiun  15730  isumsplit  15749  arisum  15769  arisum2  15770  pwdif  15777  bpoly0  15959  sumeven  16300  sumodd  16301  bitsinv1  16355  bitsinvp1  16362  prmreclem4  16833  prmreclem5  16834  gsumfsum  21373  fsumcn  24789  ovolfiniun  25430  volfiniun  25476  itg10  25617  itgfsum  25756  dvmptfsum  25907  abelthlem6  26374  logfac  26538  log2ublem3  26886  harmonicbnd3  26946  cht1  27103  dchrisumlem1  27428  dchrisumlem3  27430  logdivbnd  27495  pntrsumbnd2  27506  pntrlog2bndlem4  27519  finsumvtxdg2size  29531  esumpcvgval  34112  signsvf0  34614  signsvf1  34615  repr0  34645  breprexplemc  34666  tgoldbachgtda  34695  mettrifi  37818  rrncmslem  37893  deg1gprod  42254  sumcubes  42432  mccl  45723  dvmptfprod  46068  dvnprodlem3  46071  sge0rnn0  46491  sge00  46499  sge0sn  46502