Theorem sum0 15681

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12825	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1z 12555	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		0ss 4335	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6, 1	eleqtrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
8		c0ex 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fvconst2 7155	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11		noel 4273	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
12	11	iffalsei 4471	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
13	10, 12	eqtr4di 2793	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
14	11	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	1, 3, 5, 13, 15	zsum 15678	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
17	16	mptru 1554	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
18		fclim 15513	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19		ffun 6665	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
21		serclim0 15537	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
23		funbrfv 6882	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
24	20, 22, 23	mp2 9	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
25	17, 24	eqtri 2763	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   × cxp 5623  dom cdm 5625  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ℕcn 12172  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  seqcseq 13961   ⇝ cli 15444  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by:  sumz  15682  fsumf1o  15683  fsumcllem  15692  fsumadd  15700  fsum2d  15731  fsumrev2  15742  fsummulc2  15744  fsumconst  15750  modfsummod  15755  fsumabs  15762  telfsumo  15763  fsumparts  15767  fsumrelem  15768  fsumrlim  15772  fsumo1  15773  fsumiun  15782  isumsplit  15803  arisum  15823  arisum2  15824  pwdif  15831  bpoly0  16013  sumeven  16354  sumodd  16355  bitsinv1  16409  bitsinvp1  16416  prmreclem4  16888  prmreclem5  16889  gsumfsum  21416  fsumcn  24862  ovolfiniun  25493  volfiniun  25539  itg10  25680  itgfsum  25819  dvmptfsum  25967  abelthlem6  26426  logfac  26590  log2ublem3  26937  harmonicbnd3  26996  cht1  27153  dchrisumlem1  27477  dchrisumlem3  27479  logdivbnd  27544  pntrsumbnd2  27555  pntrlog2bndlem4  27568  finsumvtxdg2size  29644  deg1prod  33673  esumpcvgval  34269  signsvf0  34771  signsvf1  34772  repr0  34802  breprexplemc  34823  tgoldbachgtda  34852  mettrifi  38131  rrncmslem  38206  deg1gprod  42632  sumcubes  42797  mccl  46050  dvmptfprod  46395  dvnprodlem3  46398  sge0rnn0  46818  sge00  46826  sge0sn  46829  ppi1sum  48116