MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum0 15613
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1z 12540 . . . . 5 1 ∈ β„€
32a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
4 0ss 4361 . . . . 5 βˆ… βŠ† β„•
54a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ… βŠ† β„•)
6 simpr 486 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
76, 1eleqtrdi 2848 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
8 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 ∈ V
98fvconst2 7158 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
11 noel 4295 . . . . . 6 Β¬ π‘˜ ∈ βˆ…
1211iffalsei 4501 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ βˆ…, 𝐴, 0) = 0
1310, 12eqtr4di 2795 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ βˆ…, 𝐴, 0))
1411pm2.21i 119 . . . . 5 (π‘˜ ∈ βˆ… β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1514adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
161, 3, 5, 13, 15zsum 15610 . . 3 (⊀ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))))
1716mptru 1549 . 2 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = ( ⇝ β€˜seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})))
18 fclim 15442 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
19 ffun 6676 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
2018, 19ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
21 serclim0 15466 . . . 4 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0
23 funbrfv 6898 . . 3 (Fun ⇝ β†’ (seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0})) ⇝ 0 β†’ ( ⇝ β€˜seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))) = 0))
2420, 22, 23mp2 9 . 2 ( ⇝ β€˜seq1( + , ((β„€β‰₯β€˜1) Γ— {0}))) = 0
2517, 24eqtri 2765 1 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  sumz  15614  fsumf1o  15615  fsumcllem  15624  fsumadd  15632  fsum2d  15663  fsumrev2  15674  fsummulc2  15676  fsumconst  15682  modfsummod  15686  fsumabs  15693  telfsumo  15694  fsumparts  15698  fsumrelem  15699  fsumrlim  15703  fsumo1  15704  fsumiun  15713  isumsplit  15732  arisum  15752  arisum2  15753  pwdif  15760  bpoly0  15940  sumeven  16276  sumodd  16277  bitsinv1  16329  bitsinvp1  16336  prmreclem4  16798  prmreclem5  16799  gsumfsum  20880  fsumcn  24249  ovolfiniun  24881  volfiniun  24927  itg10  25068  itgfsum  25207  dvmptfsum  25355  abelthlem6  25811  logfac  25972  log2ublem3  26314  harmonicbnd3  26373  cht1  26530  dchrisumlem1  26853  dchrisumlem3  26855  logdivbnd  26920  pntrsumbnd2  26931  pntrlog2bndlem4  26944  finsumvtxdg2size  28540  esumpcvgval  32717  signsvf0  33232  signsvf1  33233  repr0  33264  breprexplemc  33285  tgoldbachgtda  33314  mettrifi  36245  rrncmslem  36320  mccl  43913  dvmptfprod  44260  dvnprodlem3  44263  sge0rnn0  44683  sge00  44691  sge0sn  44694
  Copyright terms: Public domain W3C validator