![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > flsqrt5 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
flsqrt5 | โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ ((;25 โค ๐ โง ๐ < ;36) โ (โโ(โโ๐)) = 5)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 5nn0 12496 | . . 3 โข 5 โ โ0 | |
2 | flsqrt 46559 | . . 3 โข (((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โง 5 โ โ0) โ ((โโ(โโ๐)) = 5 โ ((5โ2) โค ๐ โง ๐ < ((5 + 1)โ2)))) | |
3 | 1, 2 | mpan2 687 | . 2 โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ ((โโ(โโ๐)) = 5 โ ((5โ2) โค ๐ โง ๐ < ((5 + 1)โ2)))) |
4 | 5cn 12304 | . . . . . . 7 โข 5 โ โ | |
5 | 4 | sqvali 14148 | . . . . . 6 โข (5โ2) = (5 ยท 5) |
6 | 5t5e25 12784 | . . . . . 6 โข (5 ยท 5) = ;25 | |
7 | 5, 6 | eqtri 2758 | . . . . 5 โข (5โ2) = ;25 |
8 | 7 | breq1i 5154 | . . . 4 โข ((5โ2) โค ๐ โ ;25 โค ๐) |
9 | 8 | a1i 11 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ ((5โ2) โค ๐ โ ;25 โค ๐)) |
10 | 5p1e6 12363 | . . . . . . 7 โข (5 + 1) = 6 | |
11 | 10 | oveq1i 7421 | . . . . . 6 โข ((5 + 1)โ2) = (6โ2) |
12 | 6cn 12307 | . . . . . . . 8 โข 6 โ โ | |
13 | 12 | sqvali 14148 | . . . . . . 7 โข (6โ2) = (6 ยท 6) |
14 | 6t6e36 12789 | . . . . . . 7 โข (6 ยท 6) = ;36 | |
15 | 13, 14 | eqtri 2758 | . . . . . 6 โข (6โ2) = ;36 |
16 | 11, 15 | eqtri 2758 | . . . . 5 โข ((5 + 1)โ2) = ;36 |
17 | 16 | breq2i 5155 | . . . 4 โข (๐ < ((5 + 1)โ2) โ ๐ < ;36) |
18 | 17 | a1i 11 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ (๐ < ((5 + 1)โ2) โ ๐ < ;36)) |
19 | 9, 18 | anbi12d 629 | . 2 โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ (((5โ2) โค ๐ โง ๐ < ((5 + 1)โ2)) โ (;25 โค ๐ โง ๐ < ;36))) |
20 | 3, 19 | bitr2d 279 | 1 โข ((๐ โ โ โง 0 โค ๐) โ ((;25 โค ๐ โง ๐ < ;36) โ (โโ(โโ๐)) = 5)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5147 โcfv 6542 (class class class)co 7411 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 < clt 11252 โค cle 11253 2c2 12271 3c3 12272 5c5 12274 6c6 12275 โ0cn0 12476 ;cdc 12681 โcfl 13759 โcexp 14031 โcsqrt 15184 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12979 df-fl 13761 df-seq 13971 df-exp 14032 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 |
This theorem is referenced by: 31prm 46563 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |