Theorem flsqrt5 47579

Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt5	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12422	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		flsqrt 47578	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4		5cn 12234	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
5	4	sqvali 14105	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
6		5t5e25 12712	. . . . . 6 ⊢ (5 · 5) = ;25
7	5, 6	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = ;25
8	7	breq1i 5102	. . . 4 ⊢ ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋))
10		5p1e6 12288	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12		6cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
13	12	sqvali 14105	. . . . . . 7 ⊢ (6↑2) = (6 · 6)
14		6t6e36 12717	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 6) = ;36
15	13, 14	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (6↑2) = ;36
16	11, 15	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1)↑2) = ;36
17	16	breq2i 5103	. . . 4 ⊢ (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36))
19	9, 18	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36)))
20	3, 19	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12201  3c3 12202  5c5 12204  6c6 12205  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986  √csqrt 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160

This theorem is referenced by:  31prm  47582