Theorem flsqrt5 43756

Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt5	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 11916	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		flsqrt 43755	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4		5cn 11724	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
5	4	sqvali 13542	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
6		5t5e25 12200	. . . . . 6 ⊢ (5 · 5) = ;25
7	5, 6	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = ;25
8	7	breq1i 5072	. . . 4 ⊢ ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋))
10		5p1e6 11783	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	oveq1i 7165	. . . . . 6 ⊢ ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12		6cn 11727	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
13	12	sqvali 13542	. . . . . . 7 ⊢ (6↑2) = (6 · 6)
14		6t6e36 12205	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 6) = ;36
15	13, 14	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (6↑2) = ;36
16	11, 15	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1)↑2) = ;36
17	16	breq2i 5073	. . . 4 ⊢ (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36))
19	9, 18	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36)))
20	3, 19	bitr2d 282	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675  2c2 11691  3c3 11692  5c5 11694  6c6 11695  ℕ₀cn0 11896  ;cdc 12097  ⌊cfl 13159  ↑cexp 13428  √csqrt 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593

This theorem is referenced by:  31prm  43759