Theorem flsqrt5 48387

Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt5	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12542	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		flsqrt 48386	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4		5cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
5	4	sqvali 14236	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
6		5t5e25 12837	. . . . . 6 ⊢ (5 · 5) = ;25
7	5, 6	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = ;25
8	7	breq1i 5121	. . . 4 ⊢ ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋))
10		5p1e6 12405	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12		6cn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
13	12	sqvali 14236	. . . . . . 7 ⊢ (6↑2) = (6 · 6)
14		6t6e36 12842	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 6) = ;36
15	13, 14	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (6↑2) = ;36
16	11, 15	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1)↑2) = ;36
17	16	breq2i 5122	. . . 4 ⊢ (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36))
19	9, 18	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36)))
20	3, 19	bitr2d 283	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  6c6 12317  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ⌊cfl 13843  ↑cexp 14117  √csqrt 15310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312

This theorem is used by:  31prm  48390