Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flsqrt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flsqrt5 46197
Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
flsqrt5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((25 ≤ 𝑋𝑋 < 36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5
StepHypRef Expression
1 5nn0 12488 . . 3 5 ∈ ℕ0
2 flsqrt 46196 . . 3 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
31, 2mpan2 690 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4 5cn 12296 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
54sqvali 14140 . . . . . 6 (5↑2) = (5 · 5)
6 5t5e25 12776 . . . . . 6 (5 · 5) = 25
75, 6eqtri 2761 . . . . 5 (5↑2) = 25
87breq1i 5154 . . . 4 ((5↑2) ≤ 𝑋25 ≤ 𝑋)
98a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋25 ≤ 𝑋))
10 5p1e6 12355 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
1110oveq1i 7414 . . . . . 6 ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12 6cn 12299 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
1312sqvali 14140 . . . . . . 7 (6↑2) = (6 · 6)
14 6t6e36 12781 . . . . . . 7 (6 · 6) = 36
1513, 14eqtri 2761 . . . . . 6 (6↑2) = 36
1611, 15eqtri 2761 . . . . 5 ((5 + 1)↑2) = 36
1716breq2i 5155 . . . 4 (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < 36)
1817a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < 36))
199, 18anbi12d 632 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (25 ≤ 𝑋𝑋 < 36)))
203, 19bitr2d 280 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((25 ≤ 𝑋𝑋 < 36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245  2c2 12263  3c3 12264  5c5 12266  6c6 12267  0cn0 12468  cdc 12673  cfl 13751  cexp 14023  csqrt 15176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178
This theorem is referenced by:  31prm  46200
  Copyright terms: Public domain W3C validator