Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flsqrt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flsqrt5 44098
Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
flsqrt5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((25 ≤ 𝑋𝑋 < 36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5
StepHypRef Expression
1 5nn0 11909 . . 3 5 ∈ ℕ0
2 flsqrt 44097 . . 3 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
31, 2mpan2 690 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4 5cn 11717 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
54sqvali 13543 . . . . . 6 (5↑2) = (5 · 5)
6 5t5e25 12193 . . . . . 6 (5 · 5) = 25
75, 6eqtri 2824 . . . . 5 (5↑2) = 25
87breq1i 5040 . . . 4 ((5↑2) ≤ 𝑋25 ≤ 𝑋)
98a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋25 ≤ 𝑋))
10 5p1e6 11776 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
1110oveq1i 7149 . . . . . 6 ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12 6cn 11720 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
1312sqvali 13543 . . . . . . 7 (6↑2) = (6 · 6)
14 6t6e36 12198 . . . . . . 7 (6 · 6) = 36
1513, 14eqtri 2824 . . . . . 6 (6↑2) = 36
1611, 15eqtri 2824 . . . . 5 ((5 + 1)↑2) = 36
1716breq2i 5041 . . . 4 (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < 36)
1817a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < 36))
199, 18anbi12d 633 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (25 ≤ 𝑋𝑋 < 36)))
203, 19bitr2d 283 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((25 ≤ 𝑋𝑋 < 36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  2c2 11684  3c3 11685  5c5 11687  6c6 11688  0cn0 11889  cdc 12090  cfl 13159  cexp 13429  csqrt 14587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589
This theorem is referenced by:  31prm  44101
  Copyright terms: Public domain W3C validator