Theorem flsqrt5 47599

Description: The floor of the square root of a nonnegative number is 5 iff the number is between 25 and 35. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt5	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Proof of Theorem flsqrt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12469	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		flsqrt 47598	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 5 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((⌊‘(√‘𝑋)) = 5 ↔ ((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2))))
4		5cn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
5	4	sqvali 14152	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
6		5t5e25 12759	. . . . . 6 ⊢ (5 · 5) = ;25
7	5, 6	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = ;25
8	7	breq1i 5117	. . . 4 ⊢ ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((5↑2) ≤ 𝑋 ↔ ;25 ≤ 𝑋))
10		5p1e6 12335	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
11	10	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((5 + 1)↑2) = (6↑2)
12		6cn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
13	12	sqvali 14152	. . . . . . 7 ⊢ (6↑2) = (6 · 6)
14		6t6e36 12764	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 6) = ;36
15	13, 14	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (6↑2) = ;36
16	11, 15	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1)↑2) = ;36
17	16	breq2i 5118	. . . 4 ⊢ (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 < ((5 + 1)↑2) ↔ 𝑋 < ;36))
19	9, 18	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → (((5↑2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ((5 + 1)↑2)) ↔ (;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36)))
20	3, 19	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → ((;25 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < ;36) ↔ (⌊‘(√‘𝑋)) = 5))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  2c2 12248  3c3 12249  5c5 12251  6c6 12252  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033  √csqrt 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208

This theorem is referenced by:  31prm  47602