Theorem flsqrt 47598

Description: A condition equivalent to the floor of a square root. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Proof of Theorem flsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 15226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2		nn0z 12561	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		flbi 13785	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
5		nn0re 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8		sqrtsq 15242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
11	10	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
13		nn0sqcl 14061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15	5	sqge0d 14109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	14, 15	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
17	16	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))))
18	17	ancomd 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
19		sqrtle 15233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
21	12, 20	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) ≤ 𝐴))
22		peano2nn0 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
24		1red 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25		0le1 11708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
27	5, 24, 6, 26	addge0d 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
28	23, 27	sqrtsqd 15393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘((𝐵 + 1)↑2)) = (𝐵 + 1))
29	28	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) = (√‘((𝐵 + 1)↑2)))
30	29	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
32		2nn0 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
34	22, 33	nn0expcld 14218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℕ0)
35	34	nn0red 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	23	sqge0d 14109	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))
37	35, 36	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2)))
38		sqrtlt 15234	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
39	37, 38	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
40	31, 39	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2)))
41	21, 40	anbi12d 632	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
42	4, 41	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033  √csqrt 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208

This theorem is referenced by:  flsqrt5  47599