Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flsqrt 47070
Description: A condition equivalent to the floor of a square root. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
flsqrt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Proof of Theorem flsqrt
StepHypRef Expression
1 resqrtcl 15236 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2 nn0z 12616 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
3 flbi 13817 . . 3 (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
41, 2, 3syl2an 594 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
5 nn0re 12514 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 12530 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
75, 6jca 510 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8 sqrtsq 15252 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
98eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
1110breq1d 5159 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
1211adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
13 nn0sqcl 14090 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
1413nn0red 12566 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
155sqge0d 14137 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
1614, 15jca 510 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
1716anim2i 615 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))))
1817ancomd 460 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
19 sqrtle 15243 . . . . 5 ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
2112, 20bitr4d 281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) ≤ 𝐴))
22 peano2nn0 12545 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0red 12566 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
24 1red 11247 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25 0le1 11769 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
275, 24, 6, 26addge0d 11822 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2823, 27sqrtsqd 15402 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘((𝐵 + 1)↑2)) = (𝐵 + 1))
2928eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) = (√‘((𝐵 + 1)↑2)))
3029breq2d 5161 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
3130adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
32 2nn0 12522 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
3422, 33nn0expcld 14244 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℕ0)
3534nn0red 12566 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ)
3623sqge0d 14137 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))
3735, 36jca 510 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2)))
38 sqrtlt 15244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
3937, 38sylan2 591 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
4031, 39bitr4d 281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2)))
4121, 40anbi12d 630 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
424, 41bitrd 278 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cle 11281  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cfl 13791  cexp 14062  csqrt 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218
This theorem is referenced by:  flsqrt5  47071
  Copyright terms: Public domain W3C validator