Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flsqrt 43125
Description: A condition equivalent to the floor of a square root. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
flsqrt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Proof of Theorem flsqrt
StepHypRef Expression
1 resqrtcl 14477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2 nn0z 11821 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
3 flbi 13004 . . 3 (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
41, 2, 3syl2an 586 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
5 nn0re 11720 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 11737 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
75, 6jca 504 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8 sqrtsq 14493 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
98eqcomd 2784 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
1110breq1d 4940 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
1211adantl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
13 nn0sqcl 13274 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11771 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
155sqge0d 13430 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
1614, 15jca 504 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
1716anim2i 607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))))
1817ancomd 454 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
19 sqrtle 14484 . . . . 5 ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
2112, 20bitr4d 274 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) ≤ 𝐴))
22 peano2nn0 11752 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11771 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
24 1red 10442 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25 0le1 10966 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
275, 24, 6, 26addge0d 11019 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2823, 27sqrtsqd 14643 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘((𝐵 + 1)↑2)) = (𝐵 + 1))
2928eqcomd 2784 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) = (√‘((𝐵 + 1)↑2)))
3029breq2d 4942 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
3130adantl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
32 2nn0 11729 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
3422, 33nn0expcld 13425 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℕ0)
3534nn0red 11771 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ)
3623sqge0d 13430 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))
3735, 36jca 504 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2)))
38 sqrtlt 14485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
3937, 38sylan2 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
4031, 39bitr4d 274 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2)))
4121, 40anbi12d 621 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
424, 41bitrd 271 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   < clt 10476  cle 10477  2c2 11498  0cn0 11710  cz 11796  cfl 12978  cexp 13247  csqrt 14456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458
This theorem is referenced by:  flsqrt5  43126
  Copyright terms: Public domain W3C validator