Theorem flsqrt 43125

Description: A condition equivalent to the floor of a square root. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flsqrt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Proof of Theorem flsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtcl 14477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2		nn0z 11821	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		flbi 13004	. . 3 ⊢ (((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
4	1, 2, 3	syl2an 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))))
5		nn0re 11720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nn0ge0 11737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8		sqrtsq 14493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 = (√‘(𝐵↑2)))
11	10	breq1d 4940	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
12	11	adantl 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
13		nn0sqcl 13274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℕ0)
14	13	nn0red 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15	5	sqge0d 13430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵↑2))
16	14, 15	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
17	16	anim2i 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))))
18	17	ancomd 454	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
19		sqrtle 14484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘𝐴)))
21	12, 20	bitr4d 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) ≤ 𝐴))
22		peano2nn0 11752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0red 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
24		1red 10442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25		0le1 10966	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
27	5, 24, 6, 26	addge0d 11019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐵 + 1))
28	23, 27	sqrtsqd 14643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (√‘((𝐵 + 1)↑2)) = (𝐵 + 1))
29	28	eqcomd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) = (√‘((𝐵 + 1)↑2)))
30	29	breq2d 4942	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
31	30	adantl 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
32		2nn0 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
34	22, 33	nn0expcld 13425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℕ0)
35	34	nn0red 11771	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	23	sqge0d 13430	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))
37	35, 36	jca 504	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2)))
38		sqrtlt 14485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (((𝐵 + 1)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
39	37, 38	sylan2 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2) ↔ (√‘𝐴) < (√‘((𝐵 + 1)↑2))))
40	31, 39	bitr4d 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2)))
41	21, 40	anbi12d 621	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 ≤ (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))
42	4, 41	bitrd 271	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(√‘𝐴)) = 𝐵 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℝcr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   < clt 10476   ≤ cle 10477  2c2 11498  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ⌊cfl 12978  ↑cexp 13247  √csqrt 14456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458

This theorem is referenced by:  flsqrt5  43126