Theorem funcsetc1ocl 50307

Description: The functor to the trivial category. The converse is also true due to reverse closure. (Contributed by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetc1o.1	⊢ 1 = (SetCat‘1o)
funcsetc1o.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
funcsetc1o.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
funcsetc1ocl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

Proof of Theorem funcsetc1ocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
2		funcsetc1o.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (SetCat‘1o)
3		setc1oterm 50302	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
4	2, 3	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 1 ∈ TermCat
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
6	5	termccd 50290	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Cat)
7		funcsetc1o.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2	setc1obas 50303	. 2 ⊢ 1o = (Base‘ 1 )
9		0lt1o 8491	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
11		funcsetc1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘∅)
12	1, 6, 7, 8, 10, 11	diag1cl 18316	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  1_oc1o 8448  Catccat 17738   Func cfunc 17929  SetCatcsetc 18150  Δ_funccdiag 18286  TermCatctermc 50283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-hom 17352  df-cco 17353  df-cat 17742  df-cid 17743  df-func 17933  df-nat 18021  df-fuc 18022  df-setc 18151  df-xpc 18246  df-1stf 18247  df-curf 18288  df-diag 18290  df-thinc 50229  df-termc 50284

This theorem is used by:  isinito2lem  50309  isinito4  50358