Theorem gpgorder 47947

Description: The order of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgorder.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgorder	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Proof of Theorem gpgorder

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgorder.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
3	1, 2	gpgvtx 47937	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
4	3	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))))
5		prfi 9360	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
6		fzofi 14011	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
7	5, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin)
8		hashxp 14469	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
10		prhash2ex 14434	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘{0, 1}) = 2)
12		nnnn0 12530	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14465	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
16	11, 15	oveq12d 7448	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))) = (2 · 𝑁))
17	4, 9, 16	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cpr 4632   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ..^cfzo 13690  ⌈cceil 13827  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29027   gPetersenGr cgpg 47934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-gpg 47935

This theorem is referenced by:  gpg5order  47948