Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gpgorder Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gpgorder 48013
Description: The order of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
gpgorder.j 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
Assertion
Ref Expression
gpgorder ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Proof of Theorem gpgorder
StepHypRef Expression
1 gpgorder.j . . . 4 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2 eqid 2737 . . . 4 (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
31, 2gpgvtx 48002 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
43fveq2d 6910 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))))
5 prfi 9363 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
6 fzofi 14015 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ Fin
75, 6pm3.2i 470 . . 3 ({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin)
8 hashxp 14473 . . 3 (({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
10 prhash2ex 14438 . . . 4 (♯‘{0, 1}) = 2
1110a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘{0, 1}) = 2)
12 nnnn0 12533 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 hashfzo0 14469 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
1514adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
1611, 15oveq12d 7449 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))) = (2 · 𝑁))
174, 9, 163eqtrd 2781 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  cceil 13831  chash 14369  Vtxcvtx 29013   gPetersenGr cgpg 47999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-gpg 48000
This theorem is referenced by:  gpg5order  48014
  Copyright terms: Public domain W3C validator