Theorem gpgorder 48044

Description: The order of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgorder.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgorder	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Proof of Theorem gpgorder

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgorder.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
3	1, 2	gpgvtx 48028	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
4	3	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))))
5		prfi 9250	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
6		fzofi 13917	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
7	5, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin)
8		hashxp 14377	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
10		prhash2ex 14342	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘{0, 1}) = 2)
12		nnnn0 12427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
16	11, 15	oveq12d 7387	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))) = (2 · 𝑁))
17	4, 9, 16	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4587   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  0cc0 11046  1c1 11047   · cmul 11051   / cdiv 11813  ℕcn 12164  2c2 12219  ℕ₀cn0 12420  ..^cfzo 13593  ⌈cceil 13731  ♯chash 14273  Vtxcvtx 28977   gPetersenGr cgpg 48025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9832  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-hash 14274  df-struct 17094  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-edgf 28970  df-vtx 28979  df-gpg 48026

This theorem is referenced by:  gpg5order  48045