Theorem gpgorder 48532

Description: The order of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgorder.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgorder	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Proof of Theorem gpgorder

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgorder.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
3	1, 2	gpgvtx 48516	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
4	3	fveq2d 6836	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))))
5		prfi 9225	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
6		fzofi 13925	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
7	5, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin)
8		hashxp 14385	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
10		prhash2ex 14350	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘{0, 1}) = 2)
12		nnnn0 12433	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14381	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
16	11, 15	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))) = (2 · 𝑁))
17	4, 9, 16	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ..^cfzo 13597  ⌈cceil 13739  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29084   gPetersenGr cgpg 48513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-edgf 29077  df-vtx 29086  df-gpg 48514

This theorem is referenced by:  gpg5order  48533