Theorem gpgorder 48801

Description: The order of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgorder.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgorder	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Proof of Theorem gpgorder

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgorder.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
3	1, 2	gpgvtx 48785	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
4	3	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))))
5		prfi 9284	. . . 4 ⊢ {0, 1} ∈ Fin
6		fzofi 14012	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
7	5, 6	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin)
8		hashxp 14473	. . 3 ⊢ (({0, 1} ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
9	7, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘({0, 1} × (0..^𝑁))) = ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))))
10		prhash2ex 14437	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘{0, 1}) = 2)
12		nnnn0 12512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14469	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
16	11, 15	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((♯‘{0, 1}) · (♯‘(0..^𝑁))) = (2 · 𝑁))
17	4, 9, 16	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (♯‘(Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4592   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13684  ⌈cceil 13826  ♯chash 14368  Vtxcvtx 29324   gPetersenGr cgpg 48782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-edgf 29317  df-vtx 29326  df-gpg 48783

This theorem is referenced by:  gpg5order  48802