Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gpg5order Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gpg5order 47948
Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
gpg5order (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = 10)

Proof of Theorem gpg5order
StepHypRef Expression
1 5nn 12349 . . 3 5 ∈ ℕ
2 2z 12646 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3 fzval3 13769 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 (1...2) = (1..^(2 + 1))
5 2p1e3 12405 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
6 ceil5half3 47279 . . . . . . . 8 (⌈‘(5 / 2)) = 3
75, 6eqtr4i 2765 . . . . . . 7 (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
87oveq2i 7441 . . . . . 6 (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
94, 8eqtri 2762 . . . . 5 (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
109eleq2i 2830 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
1110biimpi 216 . . 3 (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12 eqid 2734 . . . 4 (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
1312gpgorder 47947 . . 3 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
141, 11, 13sylancr 587 . 2 (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15 5cn 12351 . . 3 5 ∈ ℂ
16 2cn 12338 . . 3 2 ∈ ℂ
17 5t2e10 12830 . . 3 (5 · 2) = 10
1815, 16, 17mulcomli 11267 . 2 (2 · 5) = 10
1914, 18eqtrdi 2790 1 (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = 10)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  5c5 12321  cz 12610  cdc 12730  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  cceil 13827  chash 14365  Vtxcvtx 29027   gPetersenGr cgpg 47934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-mod 13906  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-gpg 47935
This theorem is referenced by:  gpg5grlic  47974
  Copyright terms: Public domain W3C validator