Theorem gpg5order 48409

Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5order	⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Proof of Theorem gpg5order

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12243	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13662	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6		ceil5half3 47689	. . . . . . . 8 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
7	5, 6	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
8	7	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	4, 8	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	9	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
11	10	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
13	12	gpgorder 48408	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
14	1, 11, 13	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15		5cn 12245	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12232	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12719	. . 3 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11153	. 2 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	14, 18	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  ℤcz 12500  ;cdc 12619  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ⌈cceil 13723  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081   gPetersenGr cgpg 48389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-ceil 13725  df-mod 13802  df-hash 14266  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-edgf 29074  df-vtx 29083  df-gpg 48390

This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48443