Theorem gpg5order 48770

Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5order	⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Proof of Theorem gpg5order

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12326	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2z 12625	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13762	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6		ceil5half3 48028	. . . . . . . 8 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
7	5, 6	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
8	7	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	4, 8	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	9	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
11	10	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
13	12	gpgorder 48769	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
14	1, 11, 13	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15		5cn 12328	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12315	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12815	. . 3 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11217	. 2 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	14, 18	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  5c5 12297  ℤcz 12590  ;cdc 12710  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ⌈cceil 13823  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29312   gPetersenGr cgpg 48750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-mod 13902  df-hash 14366  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-edgf 29305  df-vtx 29314  df-gpg 48751

This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48804