Theorem gpg5order 48680

Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5order	⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Proof of Theorem gpg5order

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12318	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2z 12617	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13754	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6		ceil5half3 47938	. . . . . . . 8 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
7	5, 6	eqtr4i 2791	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
8	7	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	4, 8	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	9	eleq2i 2857	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
11	10	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
13	12	gpgorder 48679	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
14	1, 11, 13	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15		5cn 12320	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12307	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12807	. . 3 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11206	. 2 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	14, 18	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  5c5 12289  ℤcz 12582  ;cdc 12702  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  ⌈cceil 13815  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255   gPetersenGr cgpg 48660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-ceil 13817  df-mod 13894  df-hash 14358  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-edgf 29248  df-vtx 29257  df-gpg 48661

This theorem is referenced by:  gpg5grlic  48714