Theorem gpg5order 48866

Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5order	⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Proof of Theorem gpg5order

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12345	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2z 12644	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13782	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6		ceil5half3 48124	. . . . . . . 8 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
7	5, 6	eqtr4i 2792	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
8	7	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	4, 8	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	9	eleq2i 2858	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
11	10	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
13	12	gpgorder 48865	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
14	1, 11, 13	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15		5cn 12347	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12334	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12834	. . 3 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11236	. 2 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	14, 18	eqtrdi 2817	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  ℤcz 12609  ;cdc 12729  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ⌈cceil 13844  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29383   gPetersenGr cgpg 48846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-ceil 13846  df-mod 13923  df-hash 14387  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-edgf 29376  df-vtx 29385  df-gpg 48847

This theorem is used by:  gpg5grlic  48900