Theorem gpg5order 48984

Description: The order of a generalized Petersen graph G(5,K), which is either the Petersen graph G(5,2) or the 5-prism G(5,1), is 10. (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5order	⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

Proof of Theorem gpg5order

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12355	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2z 12654	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		fzval3 13794	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...2) = (1..^(2 + 1))
5		2p1e3 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
6		ceil5half3 48242	. . . . . . . 8 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3
7	5, 6	eqtr4i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = (⌈‘(5 / 2))
8	7	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (1..^(2 + 1)) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
9	4, 8	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (1...2) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
10	9	eleq2i 2854	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
11	10	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
13	12	gpgorder 48983	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
14	1, 11, 13	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = (2 · 5))
15		5cn 12357	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12344	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12845	. . 3 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11246	. 2 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	14, 18	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...2) → (♯‘(Vtx‘(5 gPetersenGr 𝐾))) = ;10)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  5c5 12326  ℤcz 12619  ;cdc 12740  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  ⌈cceil 13856  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461   gPetersenGr cgpg 48964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-ceil 13858  df-mod 13935  df-hash 14399  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-edgf 29454  df-vtx 29463  df-gpg 48965

This theorem is used by:  gpg5grlic  49018