Theorem gpgprismgriedgdmel 48049

Description: An index of edges of the generalized Petersen graph GPG(N,1). (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgriedgdmel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgprismgriedgdmel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgriedgdmel	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem gpgprismgriedgdmel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz3nn 12778	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		1elfzo1ceilhalf1 47335	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
3		gpgprismgriedgdmel.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
5		gpgprismgriedgdmel.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
6	3, 4, 5	gpgiedgdmel 48047	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑋 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4575  ⟨cop 4579  dom cdm 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  0cc0 10997  1c1 10998   + caddc 11000   / cdiv 11765  ℕcn 12116  2c2 12171  3c3 12172  ℤ_≥cuz 12723  ..^cfzo 13545  ⌈cceil 13683   mod cmo 13761  iEdgciedg 28929   gPetersenGr cgpg 48038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-xnn0 12446  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-rp 12882  df-ico 13242  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-ceil 13685  df-mod 13762  df-hash 14226  df-struct 17045  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-edgf 28921  df-iedg 28931  df-gpg 48039

This theorem is referenced by:  gpgprismgriedgdmss  48050