Theorem gsummptfzsplitra 33359

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplita.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplita.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplita.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplita.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzsplita.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfzsplitra.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitra	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplita.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplita.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplita.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplita.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		fzodisjsn 13728	. . . 4 ⊢ ((𝑀..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
8		gsummptfzsplita.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzisfzounsn 13811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 10	gsummptfidmsplit 20001	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌))))
12	3	cmnmndd 19875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13		gsummptfzsplitra.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑌 = 𝑋)
14	8, 13	csbied 3890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 = 𝑋)
15		eluzfz2 13561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
16	8, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
17	5	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵)
18		rspcsbela 4404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵) → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
20	14, 19	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 12, 8, 20, 13	gsumsnd 20023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌)) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))
23	11, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⦋csb 3854   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17494  CMndccmn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853

This theorem is referenced by:  vietalem  33950