Theorem gsummptfzsplitra 33139

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplita.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplita.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplita.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplita.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsummptfzsplita.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptfzsplitra.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitra	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplita.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplita.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplita.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplita.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		fzodisjsn 13643	. . . 4 ⊢ ((𝑀..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
8		gsummptfzsplita.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		fzisfzounsn 13726	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 10	gsummptfidmsplit 19896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌))))
12	3	cmnmndd 19770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13		gsummptfzsplitra.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑌 = 𝑋)
14	8, 13	csbied 3867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 = 𝑋)
15		eluzfz2 13477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
16	8, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
17	5	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵)
18		rspcsbela 4366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑌 ∈ 𝐵) → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
19	16, 17, 18	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝑌 ∈ 𝐵)
20	14, 19	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 12, 8, 20, 13	gsumsnd 19918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌)) = 𝑋)
22	21	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑁} ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))
23	11, 22	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↦ 𝑌)) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ⦋csb 3831   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  vietalem  33763