Theorem gsumunsnf 19298

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumunsnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnf.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnf.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnf.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnf.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsnf.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsnf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsnf.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsnf.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsnf.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11		gsumunsnf.0	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11	gsumunsnfd 19296	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2877   ∪ cun 3851  {csn 4527   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749   Σ_g cgsu 16899  CMndccmn 19124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126

This theorem is referenced by:  gsumvsca1  31152  gsumvsca2  31153