Theorem gsumunsnf 19945

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumunsnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnf.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnf.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnf.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnf.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsnf.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsnf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsnf.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsnf.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsnf.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11		gsumunsnf.0	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11	gsumunsnfd 19943	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2882   ∪ cun 3929  {csn 4606   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  Basecbs 17229  +_gcplusg 17273   Σ_g cgsu 17456  CMndccmn 19766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768

This theorem is referenced by:  gsumvsca1  33171  gsumvsca2  33172