Theorem gsumunsnf 19892

Description: Append an element to a finite group sum, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsnf.0	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumunsnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsnf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsnf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsnf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsnf.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsnf.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsnf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsnf.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsnf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsnf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsnf.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsnf.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsnf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsnf.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsnf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsnf.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsnf.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsnf.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11		gsumunsnf.0	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11	gsumunsnfd 19890	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ∪ cun 3900  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181   Σ_g cgsu 17364  CMndccmn 19713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715

This theorem is referenced by:  gsumvsca1  33310  gsumvsca2  33311