Theorem gsumunsn 19083

Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsn.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsn.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsn.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsn.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsn.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsn.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsn.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsn.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsn.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	gsumunsnd 19081	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3937  {csn 4570   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568   Σ_g cgsu 16717  CMndccmn 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  19094  mplcoe1  20249  coe1fzgsumdlem  20472  evl1gsumdlem  20522  madugsum  21255  gsummatr01lem3  21269  imasdsf1olem  22986  jensenlem1  25567  jensenlem2  25568  wilthlem2  25649  gsumle  30729  mgpsumunsn  44416