Theorem gsumunsn 19926

Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsn.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsn.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsn.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsn.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsn.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsn.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsn.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsn.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsn.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	gsumunsnd 19924	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  19937  gsumle  20111  mplcoe1  22013  coe1fzgsumdlem  22289  evl1gsumdlem  22342  madugsum  22626  gsummatr01lem3  22640  imasdsf1olem  24356  jensenlem1  26968  jensenlem2  26969  wilthlem2  27050  gsummulsubdishift1  33149  elrgspnlem4  33326  domnprodeq0  33357  deg1prod  33666  psrgsum  33732  psrmonprod  33736  vietalem  33763  evl1gprodd  42602  idomnnzgmulnz  42618  aks6d1c5lem3  42622  deg1gprod  42625  mgpsumunsn  48852