MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumunsn 19602
Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumunsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsn.p + = (+g𝐺)
gsumunsn.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumunsn.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumunsn.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumunsn.d (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
gsumunsn.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumunsn.s (𝑘 = 𝑀𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumunsn (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsn
StepHypRef Expression
1 gsumunsn.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumunsn.p . 2 + = (+g𝐺)
3 gsumunsn.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumunsn.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsumunsn.f . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
6 gsumunsn.m . 2 (𝜑𝑀𝑉)
7 gsumunsn.d . 2 (𝜑 → ¬ 𝑀𝐴)
8 gsumunsn.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
9 gsumunsn.s . . 3 (𝑘 = 𝑀𝑋 = 𝑌)
109adantl 483 . 2 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10gsumunsnd 19600 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  cun 3890  {csn 4565  cmpt 5164  cfv 6454  (class class class)co 7303  Fincfn 8760  Basecbs 16953  +gcplusg 17003   Σg cgsu 17192  CMndccmn 19427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-mulg 18742  df-cntz 18964  df-cmn 19429
This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  19613  mplcoe1  21279  coe1fzgsumdlem  21513  evl1gsumdlem  21563  madugsum  21833  gsummatr01lem3  21847  imasdsf1olem  23567  jensenlem1  26177  jensenlem2  26178  wilthlem2  26259  gsumle  31391  mgpsumunsn  45754
  Copyright terms: Public domain W3C validator