Theorem gsumunsn 20029

Description: Append an element to a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumunsn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumunsn.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumunsn.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumunsn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumunsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumunsn.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumunsn.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumunsn.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumunsn.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsumunsn.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsumunsn.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
7		gsumunsn.d	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ 𝐴)
8		gsumunsn.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsumunsn.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑋 = 𝑌)
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	gsumunsnd 20027	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑀}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309   Σ_g cgsu 17492  CMndccmn 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  20040  gsumle  20214  mplcoe1  22156  coe1fzgsumdlem  22431  evl1gsumdlem  22484  madugsum  22768  gsummatr01lem3  22782  imasdsf1olem  24498  jensenlem1  27116  jensenlem2  27117  wilthlem2  27198  gsummulsubdishift1  33328  elrgspnlem4  33505  domnprodeq0  33539  deg1prod  33817  psrgsum  33882  psrmonprod  33886  vietalem  33913  evl1gprodd  42773  idomnnzgmulnz  42789  aks6d1c5lem3  42793  deg1gprod  42796  mgpsumunsn  49025