MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws2 18764
Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumccat.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Proof of Theorem gsumws2
StepHypRef Expression
1 df-s2 14802 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩))
32oveq2d 7420 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)))
4 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5 s1cl 14555 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
6 s1cl 14555 . . 3 (𝑇𝐵 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 gsumccat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 gsumccat.p . . . 4 + = (+g𝐺)
97, 8gsumccat 18763 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
104, 5, 6, 9syl3an 1157 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
117gsumws1 18760 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
127gsumws1 18760 . . . 4 (𝑇𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩) = 𝑇)
1311, 12oveqan12d 7423 . . 3 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
14133adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
153, 10, 143eqtrd 2770 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6536  (class class class)co 7404  Word cword 14467   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14548  ⟨“cs2 14795  Basecbs 17150  +gcplusg 17203   Σg cgsu 17392  Mndcmnd 18664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-s2 14802  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19412  frgpuplem  19689  cyc3genpmlem  32813  cyc3genpm  32814  gsumws3  43506  amgm2d  43508  amgmw2d  48107
  Copyright terms: Public domain W3C validator