Theorem gsumws2 18827

Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws2	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Proof of Theorem gsumws2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14852	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩))
3	2	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		s1cl 14605	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
6		s1cl 14605	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		gsumccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		gsumccat.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	gsumccat 18826	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
10	4, 5, 6, 9	syl3an 1157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
11	7	gsumws1 18823	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
12	7	gsumws1 18823	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩) = 𝑇)
13	11, 12	oveqan12d 7442	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
14	13	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
15	3, 10, 14	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  Word cword 14517   ++ cconcat 14573  ⟨“cs1 14598  ⟨“cs2 14845  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261   Σ_g cgsu 17450  Mndcmnd 18722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19488  frgpuplem  19765  cyc3genpmlem  33006  cyc3genpm  33007  gsumws3  43800  amgm2d  43802  amgmw2d  48489