MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws2 17645
Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Proof of Theorem gsumws2
StepHypRef Expression
1 df-s2 13877 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩))
32oveq2d 6858 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)))
4 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5 s1cl 13573 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
6 s1cl 13573 . . 3 (𝑇𝐵 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 gsumwcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 gsumccat.p . . . 4 + = (+g𝐺)
97, 8gsumccat 17644 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
104, 5, 6, 9syl3an 1199 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
117gsumws1 17642 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
127gsumws1 17642 . . . 4 (𝑇𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩) = 𝑇)
1311, 12oveqan12d 6861 . . 3 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
14133adant1 1160 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
153, 10, 143eqtrd 2803 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  Word cword 13486   ++ cconcat 13541  ⟨“cs1 13566  ⟨“cs2 13870  Basecbs 16130  +gcplusg 16214   Σg cgsu 16367  Mndcmnd 17560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-s1 13567  df-s2 13877  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18179  frgpuplem  18451  gsumws3  39173  amgm2d  39175  amgmw2d  43222
  Copyright terms: Public domain W3C validator