Theorem gsumws2 18867

Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws2	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Proof of Theorem gsumws2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14883	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩))
3	2	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		s1cl 14636	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
6		s1cl 14636	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		gsumccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		gsumccat.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	gsumccat 18866	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
10	4, 5, 6, 9	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
11	7	gsumws1 18863	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
12	7	gsumws1 18863	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩) = 𝑇)
13	11, 12	oveqan12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
14	13	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
15	3, 10, 14	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Word cword 14548   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629  ⟨“cs2 14876  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19527  frgpuplem  19804  cyc3genpmlem  33153  cyc3genpm  33154  gsumws3  44185  amgm2d  44187  amgmw2d  49034