Theorem gsumws2 18577

Description: Valuation of a pair in a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws2	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Proof of Theorem gsumws2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14660	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ⟨“𝑆𝑇”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩))
3	2	oveq2d 7353	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)))
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		s1cl 14406	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
6		s1cl 14406	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		gsumccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		gsumccat.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	gsumccat 18576	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
10	4, 5, 6, 9	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)))
11	7	gsumws1 18573	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
12	7	gsumws1 18573	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩) = 𝑇)
13	11, 12	oveqan12d 7356	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
14	13	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇”⟩)) = (𝑆 + 𝑇))
15	3, 10, 14	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇”⟩) = (𝑆 + 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Word cword 14317   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399  ⟨“cs2 14653  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059   Σ_g cgsu 17248  Mndcmnd 18482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19199  frgpuplem  19473  cyc3genpmlem  31705  cyc3genpm  31706  gsumws3  42128  amgm2d  42130  amgmw2d  46859