MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2iun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2iun 15811
Description: The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
hash2iun.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hash2iun.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
hash2iun.c ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
hash2iun.da (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
hash2iun.db ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
Assertion
Ref Expression
hash2iun (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hash2iun
StepHypRef Expression
1 hash2iun.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 hash2iun.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3 hash2iun.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
433expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
54ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐵 𝐶 ∈ Fin)
6 iunfi 9374 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 𝐶 ∈ Fin) → 𝑦𝐵 𝐶 ∈ Fin)
72, 5, 6syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑦𝐵 𝐶 ∈ Fin)
8 hash2iun.da . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶)
91, 7, 8hashiun 15810 . 2 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 (♯‘ 𝑦𝐵 𝐶))
10 hash2iun.db . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Disj 𝑦𝐵 𝐶)
112, 4, 10hashiun 15810 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (♯‘ 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
1211sumeq2dv 15691 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (♯‘ 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
139, 12eqtrd 2768 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝐶) = Σ𝑥𝐴 Σ𝑦𝐵 (♯‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058   ciun 5000  Disj wdisj 5117  cfv 6553  Fincfn 8972  chash 14331  Σcsu 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675
This theorem is referenced by:  hash2iun1dif1  15812
  Copyright terms: Public domain W3C validator