Theorem 0sgmppw 25777

Description: A prime power 𝑃↑𝐾 has 𝐾 + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0sgmppw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Proof of Theorem 0sgmppw

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16021	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnexpcl 13445	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4		0sgm 25724	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
6		fzfid 13344	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ∈ Fin)
7		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛))
8	7	dvdsppwf1o 25766	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)})
9	6, 8	hasheqf1od 13717	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
10	5, 9	eqtr4d 2862	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘(0...𝐾)))
11		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		nn0uz 12283	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
13	11, 12	eleqtrdi 2926	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
14		hashfz 13791	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
16		nn0cn 11910	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
17	16	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
18	17	subid1d 10989	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
19	18	oveq1d 7174	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 0) + 1) = (𝐾 + 1))
20	10, 15, 19	3eqtrd 2863	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   − cmin 10873  ℕcn 11641  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  ♯chash 13693   ∥ cdvds 15610  ℙcprime 16018   σ csgm 25676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-prm 16019  df-pc 16177  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25143  df-cxp 25144  df-sgm 25682

This theorem is referenced by: (None)