MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfac2 26720
Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfac2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜

Proof of Theorem logfac2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flge0nn0 13785 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2 logfac 26109 . . 3 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
31, 2syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4 fzfid 13938 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
5 fzfid 13938 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
6 ssrab2 4078 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด))
7 ssfi 9173 . . . . 5 (((1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
85, 6, 7sylancl 587 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
9 flcl 13760 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
11 fznn 13569 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1312anbi1d 631 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
14 nnre 12219 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
16 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1817nnred 12227 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
19 reflcl 13761 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2019ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)
22 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
24 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2523, 17, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2621, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›)
27 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2915, 18, 20, 26, 28letrd 11371 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
3029expl 459 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
3130pm4.71rd 564 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))))
32 an12 644 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
33 an21 643 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3431, 32, 333bitr4g 314 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3513, 34bitr4d 282 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
36 breq2 5153 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3736elrab 3684 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3837anbi2i 624 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
39 breq1 5152 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4039elrab 3684 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4140anbi2i 624 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
4235, 38, 413bitr4g 314 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›})))
43 elfznn 13530 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4443adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
45 vmacl 26622 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4746recnd 11242 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4847adantrr 716 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
494, 4, 8, 42, 48fsumcom2 15720 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜))
50 fsumconst 15736 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin โˆง (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
518, 47, 50syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
52 fzfid 13938 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โˆˆ Fin)
53 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š))
5553, 44, 54dvdsflf1o 26691 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)):(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})
5652, 55hasheqf1od 14313 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}))
57 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
58 nndivre 12253 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
5957, 43, 58syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
6114, 60jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
6243, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
63 divge0 12083 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
6462, 63sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
65 flge0nn0 13785 . . . . . . . . 9 (((๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
6659, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
67 hashfz1 14306 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6956, 68eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
7069oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
7159flcld 13763 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12667 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7372, 47mulcomd 11235 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7451, 70, 733eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7574sumeq2dv 15649 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7616adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
77 vmasum 26719 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7978sumeq2dv 15649 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
8049, 75, 793eqtr3d 2781 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
813, 80eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  !cfa 14233  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632   โˆฅ cdvds 16197  logclog 26063  ฮ›cvma 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602
This theorem is referenced by:  vmadivsum  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator