Theorem logfac2 27135

Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfac2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem logfac2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flge0nn0 13789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		logfac 26517	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4		fzfid 13945	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
6		ssrab2 4046	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))
7		ssfi 9143	. . . . 5 ⊢ (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
9		flcl 13764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11		fznn 13560	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
13	12	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
14		nnre 12200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		elfznn 13521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		reflcl 13765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
21		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∥ 𝑛)
22		nnz 12557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
23	22	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
24		dvdsle 16287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
25	23, 17, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
26	21, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ 𝑛)
27		elfzle2 13496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
29	15, 18, 20, 26, 28	letrd 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))
30	29	expl 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)))
31	30	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))))
32		an12 645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
33		an21 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
34	31, 32, 33	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
35	13, 34	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
36		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 ∥ 𝑥 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
37	36	elrab 3662	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
38	37	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
39		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
40	39	elrab 3662	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
41	40	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
42	35, 38, 41	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})))
43		elfznn 13521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45		vmacl 27035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
48	47	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 4, 8, 42, 48	fsumcom2 15747	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘))
50		fsumconst 15763	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin ∧ (Λ‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
51	8, 47, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
52		fzfid 13945	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ∈ Fin)
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)) = (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚))
55	53, 44, 54	dvdsflf1o 27104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)):(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})
56	52, 55	hasheqf1od 14325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}))
57		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
58		nndivre 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
59	57, 43, 58	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
60		nngt0 12224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
61	14, 60	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
62	43, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
63		divge0 12059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
64	62, 63	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
65		flge0nn0 13789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝑘)) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
66	59, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
67		hashfz1 14318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
69	56, 68	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
70	69	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)))
71	59	flcld 13767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12646	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℂ)
73	72, 47	mulcomd 11202	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
74	51, 70, 73	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
75	74	sumeq2dv 15675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
76	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
77		vmasum 27134	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
79	78	sumeq2dv 15675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
80	49, 75, 79	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
81	3, 80	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  !cfa 14245  ♯chash 14302  Σcsu 15659   ∥ cdvds 16229  logclog 26470  Λcvma 27009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-vma 27015

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27400