MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfac2 27137
Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfac2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜

Proof of Theorem logfac2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flge0nn0 13809 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2 logfac 26522 . . 3 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
31, 2syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4 fzfid 13962 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
5 fzfid 13962 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
6 ssrab2 4073 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โІ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))
7 ssfi 9189 . . . . 5 (((1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โІ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
85, 6, 7sylancl 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
9 flcl 13784 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
11 fznn 13593 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1312anbi1d 629 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
14 nnre 12241 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
16 elfznn 13554 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1817nnred 12249 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
19 reflcl 13785 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2019ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)
22 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
24 dvdsle 16278 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2523, 17, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2621, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›)
27 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2915, 18, 20, 26, 28letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
3029expl 457 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
3130pm4.71rd 562 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))))
32 an12 644 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
33 an21 643 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3431, 32, 333bitr4g 314 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3513, 34bitr4d 282 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
36 breq2 5146 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3736elrab 3680 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3837anbi2i 622 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
39 breq1 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4039elrab 3680 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4140anbi2i 622 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
4235, 38, 413bitr4g 314 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›})))
43 elfznn 13554 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4443adantl 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
45 vmacl 27037 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4746recnd 11264 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4847adantrr 716 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
494, 4, 8, 42, 48fsumcom2 15744 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜))
50 fsumconst 15760 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin โˆง (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
518, 47, 50syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
52 fzfid 13962 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โˆˆ Fin)
53 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š))
5553, 44, 54dvdsflf1o 27106 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)):(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})
5652, 55hasheqf1od 14336 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}))
57 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
58 nndivre 12275 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
5957, 43, 58syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nngt0 12265 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
6114, 60jca 511 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
6243, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
63 divge0 12105 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
6462, 63sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
65 flge0nn0 13809 . . . . . . . . 9 (((๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
6659, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
67 hashfz1 14329 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6956, 68eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
7069oveq1d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
7159flcld 13787 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12689 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7372, 47mulcomd 11257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7451, 70, 733eqtrd 2771 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7574sumeq2dv 15673 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7616adantl 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
77 vmasum 27136 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7978sumeq2dv 15673 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
8049, 75, 793eqtr3d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
813, 80eqtr4d 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {crab 3427   โІ wss 3944   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  ...cfz 13508  โŒŠcfl 13779  !cfa 14256  โ™ฏchash 14313  ฮฃcsu 15656   โˆฅ cdvds 16222  logclog 26475  ฮ›cvma 27011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017
This theorem is referenced by:  vmadivsum  27402
  Copyright terms: Public domain W3C validator