MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfac2 26700
Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfac2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜

Proof of Theorem logfac2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flge0nn0 13781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2 logfac 26091 . . 3 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
31, 2syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4 fzfid 13934 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
5 fzfid 13934 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
6 ssrab2 4076 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด))
7 ssfi 9169 . . . . 5 (((1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โŠ† (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
85, 6, 7sylancl 587 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin)
9 flcl 13756 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
11 fznn 13565 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))))
1312anbi1d 631 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
14 nnre 12215 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
16 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1817nnred 12223 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
19 reflcl 13757 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2019ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)
22 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
24 dvdsle 16249 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2523, 17, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›))
2621, 25mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ๐‘›)
27 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
2915, 18, 20, 26, 28letrd 11367 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด))
3029expl 459 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
3130pm4.71rd 564 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))))
32 an12 644 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
33 an21 643 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3431, 32, 333bitr4g 314 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
3513, 34bitr4d 282 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))))
36 breq2 5151 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3736elrab 3682 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
3837anbi2i 624 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
39 breq1 5150 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4039elrab 3682 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
4140anbi2i 624 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
4235, 38, 413bitr4g 314 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›})))
43 elfznn 13526 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4443adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
45 vmacl 26602 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4746recnd 11238 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4847adantrr 716 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
494, 4, 8, 42, 48fsumcom2 15716 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜))
50 fsumconst 15732 . . . . . 6 (({๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} โˆˆ Fin โˆง (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
518, 47, 50syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
52 fzfid 13934 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โˆˆ Fin)
53 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)) = (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š))
5553, 44, 54dvdsflf1o 26671 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) โ†ฆ (๐‘˜ ยท ๐‘š)):(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ})
5652, 55hasheqf1od 14309 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}))
57 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
58 nndivre 12249 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
5957, 43, 58syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
60 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
6114, 60jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
6243, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜))
63 divge0 12079 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
6462, 63sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜))
65 flge0nn0 13781 . . . . . . . . 9 (((๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘˜)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
6659, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
67 hashfz1 14302 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
6956, 68eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)))
7069oveq1d 7419 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ}) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)))
7159flcld 13759 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12663 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7372, 47mulcomd 11231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜)) ยท (ฮ›โ€˜๐‘˜)) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7451, 70, 733eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7574sumeq2dv 15645 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘ฅ} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
7616adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
77 vmasum 26699 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7876, 77syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜๐‘›))
7978sumeq2dv 15645 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
8049, 75, 793eqtr3d 2781 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
813, 80eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((ฮ›โ€˜๐‘˜) ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3433   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751  !cfa 14229  โ™ฏchash 14286  ฮฃcsu 15628   โˆฅ cdvds 16193  logclog 26045  ฮ›cvma 26576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-vma 26582
This theorem is referenced by:  vmadivsum  26965
  Copyright terms: Public domain W3C validator