Theorem logfac2 27148

Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfac2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem logfac2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flge0nn0 13716	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		logfac 26530	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4		fzfid 13872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5		fzfid 13872	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
6		ssrab2 4028	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))
7		ssfi 9077	. . . . 5 ⊢ (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
9		flcl 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11		fznn 13484	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
13	12	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
14		nnre 12124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		elfznn 13445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		reflcl 13692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
21		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∥ 𝑛)
22		nnz 12481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
23	22	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
24		dvdsle 16213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
25	23, 17, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
26	21, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ 𝑛)
27		elfzle2 13420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
29	15, 18, 20, 26, 28	letrd 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))
30	29	expl 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)))
31	30	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))))
32		an12 645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
33		an21 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
34	31, 32, 33	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
35	13, 34	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
36		breq2 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 ∥ 𝑥 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
37	36	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
38	37	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
39		breq1 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
40	39	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
41	40	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
42	35, 38, 41	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})))
43		elfznn 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45		vmacl 27048	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
48	47	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 4, 8, 42, 48	fsumcom2 15673	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘))
50		fsumconst 15689	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin ∧ (Λ‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
51	8, 47, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
52		fzfid 13872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ∈ Fin)
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)) = (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚))
55	53, 44, 54	dvdsflf1o 27117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)):(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})
56	52, 55	hasheqf1od 14252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}))
57		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
58		nndivre 12158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
59	57, 43, 58	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
60		nngt0 12148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
61	14, 60	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
62	43, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
63		divge0 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
64	62, 63	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
65		flge0nn0 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝑘)) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
66	59, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
67		hashfz1 14245	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
69	56, 68	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
70	69	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)))
71	59	flcld 13694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12570	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℂ)
73	72, 47	mulcomd 11125	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
74	51, 70, 73	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
75	74	sumeq2dv 15601	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
76	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
77		vmasum 27147	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
79	78	sumeq2dv 15601	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
80	49, 75, 79	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
81	3, 80	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003   < clt 11138   ≤ cle 11139   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ...cfz 13399  ⌊cfl 13686  !cfa 14172  ♯chash 14229  Σcsu 15585   ∥ cdvds 16155  logclog 26483  Λcvma 27022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-ef 15966  df-sin 15968  df-cos 15969  df-pi 15971  df-dvds 16156  df-gcd 16398  df-prm 16575  df-pc 16741  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-mulg 18973  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-cncf 24791  df-limc 25787  df-dv 25788  df-log 26485  df-vma 27028

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27413