Theorem logfac2 25792

Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfac2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem logfac2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flge0nn0 13189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		logfac 25183	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4		fzfid 13340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
5		fzfid 13340	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
6		ssrab2 4055	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))
7		ssfi 8737	. . . . 5 ⊢ (((1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ⊆ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
9		flcl 13164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11		fznn 12974	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))))
13	12	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
14		nnre 11644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		elfznn 12935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
17	16	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	17	nnred 11652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		reflcl 13165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
21		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∥ 𝑛)
22		nnz 12003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
23	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
24		dvdsle 15659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
25	23, 17, 24	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → (𝑘 ∥ 𝑛 → 𝑘 ≤ 𝑛))
26	21, 25	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ 𝑛)
27		elfzle2 12910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
28	27	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑛 ≤ (⌊‘𝐴))
29	15, 18, 20, 26, 28	letrd 10796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴))
30	29	expl 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) → 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)))
31	30	pm4.71rd 565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))))
32		an12 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
33		an21 642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑘 ≤ (⌊‘𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
34	31, 32, 33	3bitr4g 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≤ (⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
35	13, 34	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))))
36		breq2 5069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 ∥ 𝑥 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
37	36	elrab 3679	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
38	37	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
39		breq1 5068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑛 ↔ 𝑘 ∥ 𝑛))
40	39	elrab 3679	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛))
41	40	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ 𝑛)))
42	35, 38, 41	3bitr4g 316	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛})))
43		elfznn 12935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
44	43	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45		vmacl 25694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
47	46	recnd 10668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
48	47	adantrr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
49	4, 4, 8, 42, 48	fsumcom2 15128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘))
50		fsumconst 15144	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} ∈ Fin ∧ (Λ‘𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
51	8, 47, 50	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)))
52		fzfid 13340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ∈ Fin)
53		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
54		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)) = (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚))
55	53, 44, 54	dvdsflf1o 25763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘))) ↦ (𝑘 · 𝑚)):(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))–1-1-onto→{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥})
56	52, 55	hasheqf1od 13713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}))
57		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
58		nndivre 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
59	57, 43, 58	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ)
60		nngt0 11667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
61	14, 60	jca 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
62	43, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
63		divge0 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
64	62, 63	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑘))
65		flge0nn0 13189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝑘)) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
66	59, 64, 65	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0)
67		hashfz1 13705	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘(1...(⌊‘(𝐴 / 𝑘)))) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
69	56, 68	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) = (⌊‘(𝐴 / 𝑘)))
70	69	oveq1d 7170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥}) · (Λ‘𝑘)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)))
71	59	flcld 13167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (⌊‘(𝐴 / 𝑘)) ∈ ℂ)
73	72, 47	mulcomd 10661	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑘)) · (Λ‘𝑘)) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
74	51, 70, 73	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = ((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
75	74	sumeq2dv 15059	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∣ 𝑘 ∥ 𝑥} (Λ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))
76	16	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
77		vmasum 25791	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
78	76, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = (log‘𝑛))
79	78	sumeq2dv 15059	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑛} (Λ‘𝑘) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
80	49, 75, 79	3eqtr3d 2864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
81	3, 80	eqtr4d 2859	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝐴))((Λ‘𝑘) · (⌊‘(𝐴 / 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   / cdiv 11296  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  ...cfz 12891  ⌊cfl 13159  !cfa 13632  ♯chash 13689  Σcsu 15041   ∥ cdvds 15606  logclog 25137  Λcvma 25668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-prm 16015  df-pc 16173  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-log 25139  df-vma 25674

This theorem is referenced by:  vmadivsum  26057