Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq3 23924
 Description: Special case of itg2i1fseq2 23923: if the integral of 𝐹 is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
itg2i1fseq3.7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq3 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑃,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem itg2i1fseq3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2i1fseq.2 . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2i1fseq.3 . 2 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4 itg2i1fseq.4 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
5 itg2i1fseq.5 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
6 itg2i1fseq.6 . 2 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
7 itg2i1fseq3.7 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
8 icossicc 12550 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
9 fss 6292 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
102, 8, 9sylancl 582 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
123ffvelrnda 6609 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
131, 2, 3, 4, 5itg2i1fseqle 23921 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟𝐹)
14 itg2ub 23900 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑘) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1496 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15itg2i1fseq2 23923 1 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  dom cdm 5343  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ∘𝑟 cofr 7157  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  +∞cpnf 10389   ≤ cle 10393  ℕcn 11351  [,)cico 12466  [,]cicc 12467   ⇝ cli 14593  MblFncmbf 23781  ∫1citg1 23782  ∫2citg2 23783  0𝑝c0p 23836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cc 9573  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-disj 4843  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-ofr 7159  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-rest 16437  df-topgen 16458  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-top 21070  df-topon 21087  df-bases 21122  df-cmp 21562  df-ovol 23631  df-vol 23632  df-mbf 23786  df-itg1 23787  df-itg2 23788  df-0p 23837 This theorem is referenced by:  itg2addlem  23925
 Copyright terms: Public domain W3C validator