MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq3 25807
Description: Special case of itg2i1fseq2 25806: if the integral of 𝐹 is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
itg2i1fseq3.7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq3 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑃,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem itg2i1fseq3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2i1fseq.2 . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3 itg2i1fseq.3 . 2 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4 itg2i1fseq.4 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
5 itg2i1fseq.5 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
6 itg2i1fseq.6 . 2 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
7 itg2i1fseq3.7 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
8 icossicc 13473 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
9 fss 6753 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
102, 8, 9sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
123ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
131, 2, 3, 4, 5itg2i1fseqle 25804 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘r𝐹)
14 itg2ub 25783 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑘) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1370 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫2𝐹))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15itg2i1fseq2 25806 1 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  r cofr 7696  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  cle 11294  cn 12264  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  cli 15517  MblFncmbf 25663  1citg1 25664  2citg2 25665  0𝑝c0p 25718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-0p 25719
This theorem is referenced by:  itg2addlem  25808
  Copyright terms: Public domain W3C validator