Theorem itg2i1fseq3 25991

Description: Special case of itg2i1fseq2 25990: if the integral of 𝐹 is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2i1fseq.6	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
itg2i1fseq3.7	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑃,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem itg2i1fseq3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2i1fseq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2i1fseq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2i1fseq.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4		itg2i1fseq.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
5		itg2i1fseq.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
6		itg2i1fseq.6	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
7		itg2i1fseq3.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
8		icossicc 13493	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
9		fss 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
10	2, 8, 9	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
12	3	ffvelcdmda 7081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
13	1, 2, 3, 4, 5	itg2i1fseqle 25988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ 𝐹)
14		itg2ub 25967	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫2‘𝐹))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫2‘𝐹))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15	itg2i1fseq2 25990	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_r cofr 7681  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  +∞cpnf 11268   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  [,)cico 13404  [,]cicc 13405   ⇝ cli 15575  MblFncmbf 25848  ∫₁citg1 25849  ∫₂citg2 25850  0_𝑝c0p 25903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cmp 23618  df-ovol 25698  df-vol 25699  df-mbf 25853  df-itg1 25854  df-itg2 25855  df-0p 25904

This theorem is used by:  itg2addlem  25992