Theorem itg2i1fseq3 25877

Description: Special case of itg2i1fseq2 25876: if the integral of 𝐹 is a real number, then the standard limit relation holds on the integrals of simple functions approaching 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2i1fseq.6	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
itg2i1fseq3.7	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑃,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem itg2i1fseq3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2i1fseq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2i1fseq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2i1fseq.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4		itg2i1fseq.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
5		itg2i1fseq.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
6		itg2i1fseq.6	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
7		itg2i1fseq3.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
8		icossicc 13454	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
9		fss 6712	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
10	2, 8, 9	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
12	3	ffvelcdmda 7069	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
13	1, 2, 3, 4, 5	itg2i1fseqle 25874	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ 𝐹)
14		itg2ub 25853	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑘) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫2‘𝐹))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫2‘𝐹))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15	itg2i1fseq2 25876	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_r cofr 7663  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  +∞cpnf 11228   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  [,)cico 13365  [,]cicc 13366   ⇝ cli 15525  MblFncmbf 25734  ∫₁citg1 25735  ∫₂citg2 25736  0_𝑝c0p 25789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cmp 23505  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739  df-itg1 25740  df-itg2 25741  df-0p 25790

This theorem is referenced by:  itg2addlem  25878