Theorem lmdvglim 33584

Description: If a monotonic real number sequence 𝐹 diverges, it converges in the extended real numbers and its limit is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvglim.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmdvglim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvglim.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvglim.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvglim	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘

Proof of Theorem lmdvglim

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvglim.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
2		lmdvglim.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3		lmdvglim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4	1, 2, 3	lmdvg 33583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
5		lmdvglim.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		icossicc 13443	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7		fss 6732	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8	1, 6, 7	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9		eqidd 2726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
10	5, 8, 9	lmxrge0 33582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
11	4, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5141  dom cdm 5670  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273   < clt 11276   ≤ cle 11277  ℕcn 12240  ℤ_≥cuz 12850  [,)cico 13356  [,]cicc 13357   ⇝ cli 15458   ↾_s cress 17206  TopOpenctopn 17400  ℝ^*_𝑠cxrs 17479  ⇝_𝑡clm 23146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-rest 17401  df-topn 17402  df-topgen 17422  df-ordt 17480  df-xrs 17481  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-lm 23149

This theorem is referenced by:  esumcvg  33734