Theorem lmdvglim 33389

Description: If a monotonic real number sequence 𝐹 diverges, it converges in the extended real numbers and its limit is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvglim.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmdvglim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
lmdvglim.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
lmdvglim.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
lmdvglim	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘

Proof of Theorem lmdvglim

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvglim.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
2		lmdvglim.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3		lmdvglim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4	1, 2, 3	lmdvg 33388	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘))
5		lmdvglim.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		icossicc 13409	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7		fss 6724	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8	1, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9		eqidd 2725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
10	5, 8, 9	lmxrge0 33387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < (𝐹‘𝑘)))
11	4, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℤ_≥cuz 12818  [,)cico 13322  [,]cicc 13323   ⇝ cli 15424   ↾_s cress 17171  TopOpenctopn 17365  ℝ^*_𝑠cxrs 17444  ⇝_𝑡clm 23051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-rest 17366  df-topn 17367  df-topgen 17387  df-ordt 17445  df-xrs 17446  df-ps 18520  df-tsr 18521  df-top 22717  df-topon 22734  df-bases 22770  df-lm 23054

This theorem is referenced by:  esumcvg  33539