sge0gtfsumgt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0gtfsumgt 47185

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gtfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑦 𝑦,𝐵 𝑦,𝐶 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑦, 𝑘)

**Proof of Theorem sge0gtfsumgt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^{^}
3		nfmpt1 5210	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	2, 3	nffv 6891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
5		nfcv 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
6	4, 5	nfel 2939	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		icossicc 13467	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
17	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
19		difrp 13060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
20	17, 18, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
21	15, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺)
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 47168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
23		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
24		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25	1, 24	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
27	26	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simpll 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
29		elpwinss 45797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32	adantll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		rge0ssre 13487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
35	34, 11	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
36	28, 33, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	25, 27, 36	fsumreclf 46320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ad4ant13 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
40	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ)
42	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	42	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
45	39, 44	addcomd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
46	23, 45	breqtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
47	40, 42	resubcld 11646	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
48	37	ad4ant13 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 11816	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)))
50	46, 49	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
51	41, 43	nncand 11578	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
52	51	breq1d 5119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
53	50, 52	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
54	53	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
55	54	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
56	22, 55	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
57		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
59		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
60	1, 11, 59	fmptdf 7112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
62	60, 61	fssd 6723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
63	8, 62	sge0repnf 47128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
64	63	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
65	58, 64	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
66		notnotb 318	. . . 4 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
67	65, 66	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
68	4	nfeq1 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞
69	1, 68	nfan 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
70	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
71	11	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
73	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 47184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
75	57, 67, 74	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
76	56, 75	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 = wceq 1570 Ⅎwnf 1813 ∈ wcel 2143 ∃wrex 3089 ∩ cin 3904 ⊆ wss 3905 𝒫 cpw 4562 class class class wbr 5109 ↦ cmpt 5192 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 Fincfn 8939 ℂcc 11102 ℝcr 11103 0cc0 11104 + caddc 11107 +∞cpnf 11244 < clt 11247 − cmin 11445 ℝ⁺crp 13020 [,)cico 13378 [,]cicc 13379 Σcsu 15742 Σ^{^}csumge0 47104

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-inf2 9606 ax-cnex 11160 ax-resscn 11161 ax-1cn 11162 ax-icn 11163 ax-addcl 11164 ax-addrcl 11165 ax-mulcl 11166 ax-mulrcl 11167 ax-mulcom 11168 ax-addass 11169 ax-mulass 11170 ax-distr 11171 ax-i2m1 11172 ax-1ne0 11173 ax-1rid 11174 ax-rnegex 11175 ax-rrecex 11176 ax-cnre 11177 ax-pre-lttri 11178 ax-pre-lttrn 11179 ax-pre-ltadd 11180 ax-pre-mulgt0 11181 ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-oi 9468 df-card 9930 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11876 df-nn 12238 df-2 12307 df-3 12308 df-n0 12509 df-z 12596 df-uz 12867 df-rp 13021 df-ico 13382 df-icc 13383 df-fz 13540 df-fzo 13688 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14372 df-cj 15155 df-re 15156 df-im 15157 df-sqrt 15291 df-abs 15292 df-clim 15544 df-sum 15743 df-sumge0 47105

This theorem is used by: sge0uzfsumgt 47186 sge0seq 47188

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