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Theorem sge0gtfsumgt 46458
Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gtfsumgt.k 𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gtfsumgt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0gtfsumgt (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem sge0gtfsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0gtfsumgt.k . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘Σ^
3 nfmpt1 5250 . . . . . . 7 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
42, 3nffv 6916 . . . . . 6 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵))
5 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘
64, 5nfel 2920 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ
71, 6nfan 1899 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
8 sge0gtfsumgt.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
10 icossicc 13476 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11 sge0gtfsumgt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1210, 11sselid 3981 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 sge0gtfsumgt.l . . . . . 6 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
16 sge0gtfsumgt.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
19 difrp 13073 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2115, 20mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+)
227, 9, 13, 21, 18sge0ltfirpmpt2 46441 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
24 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
251, 24nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
29 elpwinss 45054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
3230, 31sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
3332adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
34 rge0ssre 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3534, 11sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3628, 33, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
3725, 27, 36fsumreclf 45591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
3837recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
3938ad4ant13 751 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
4018ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
4140recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
4217ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
4342recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
4441, 43subcld 11620 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
4539, 44addcomd 11463 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4623, 45breqtrd 5169 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4740, 42resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
4837ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
4940, 47, 48ltsubadd2d 11861 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
5046, 49mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5141, 43nncand 11625 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
5251breq1d 5153 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5350, 52mpbid 232 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5453ex 412 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5554reximdva 3168 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5622, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
57 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
601, 11, 59fmptdf 7137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
6260, 61fssd 6753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
638, 62sge0repnf 46401 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6558, 64mtbid 324 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
66 notnotb 315 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
6765, 66sylibr 234 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
684nfeq1 2921 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞
691, 68nfan 1899 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
708adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐴𝑉)
7111adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7316adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
7469, 70, 71, 72, 73sge0pnffsumgt 46457 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7557, 67, 74syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7656, 75pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cmin 11492  +crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  Σcsu 15722  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  46459  sge0seq  46461
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