sge0gtfsumgt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0gtfsumgt 41445

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gtfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑦 𝑦,𝐵 𝑦,𝐶 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem sge0gtfsumgt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2969	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^{^}
3		nfmpt1 4972	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	2, 3	nffv 6447	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
5		nfcv 2969	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
6	4, 5	nfel 2982	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 2002	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		icossicc 12556	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sseldi 3825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	adantlr 706	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15	14	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
17	16	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
19		difrp 12159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
20	17, 18, 19	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
21	15, 20	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺)
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 41428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
23		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
24		nfv 2013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25	1, 24	nfan 2002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		elinel2 4029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
27	26	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simpll 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
29		elpwinss 40028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
30	29	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
31		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sseldd 3828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32	adantll 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		rge0ssre 12577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
35	34, 11	sseldi 3825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
36	28, 33, 35	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	25, 27, 36	fsumreclf 40597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
38	37	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ad4ant13 757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
40	18	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ)
42	17	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	42	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 10720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
45	39, 44	addcomd 10564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
46	23, 45	breqtrd 4901	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
47	40, 42	resubcld 10789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
48	37	ad4ant13 757	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 10957	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)))
50	46, 49	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
51	41, 43	nncand 10725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
52	51	breq1d 4885	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
53	50, 52	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
54	53	ex 403	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
55	54	reximdva 3225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
56	22, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
57		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
59		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
60	1, 11, 59	fmptdf 6641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
62	60, 61	fssd 6296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
63	8, 62	sge0repnf 41388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
64	63	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
65	58, 64	mtbid 316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
66		notnotb 307	. . . 4 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
67	65, 66	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
68	4	nfeq1 2983	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞
69	1, 68	nfan 2002	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
70	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
71	11	adantlr 706	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
73	16	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 41444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
75	57, 67, 74	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
76	56, 75	pm2.61dan 847	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 = wceq 1656 Ⅎwnf 1882 ∈ wcel 2164 ∃wrex 3118 ∩ cin 3797 ⊆ wss 3798 𝒫 cpw 4380 class class class wbr 4875 ↦ cmpt 4954 ‘cfv 6127 (class class class)co 6910 Fincfn 8228 ℂcc 10257 ℝcr 10258 0cc0 10259 + caddc 10262 +∞cpnf 10395 < clt 10398 − cmin 10592 ℝ⁺crp 12119 [,)cico 12472 [,]cicc 12473 Σcsu 14800 Σ^{^}csumge0 41364

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1894 ax-4 1908 ax-5 2009 ax-6 2075 ax-7 2112 ax-8 2166 ax-9 2173 ax-10 2192 ax-11 2207 ax-12 2220 ax-13 2389 ax-ext 2803 ax-rep 4996 ax-sep 5007 ax-nul 5015 ax-pow 5067 ax-pr 5129 ax-un 7214 ax-inf2 8822 ax-cnex 10315 ax-resscn 10316 ax-1cn 10317 ax-icn 10318 ax-addcl 10319 ax-addrcl 10320 ax-mulcl 10321 ax-mulrcl 10322 ax-mulcom 10323 ax-addass 10324 ax-mulass 10325 ax-distr 10326 ax-i2m1 10327 ax-1ne0 10328 ax-1rid 10329 ax-rnegex 10330 ax-rrecex 10331 ax-cnre 10332 ax-pre-lttri 10333 ax-pre-lttrn 10334 ax-pre-ltadd 10335 ax-pre-mulgt0 10336 ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 879 df-3or 1112 df-3an 1113 df-tru 1660 df-fal 1670 df-ex 1879 df-nf 1883 df-sb 2068 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4147 df-if 4309 df-pw 4382 df-sn 4400 df-pr 4402 df-tp 4404 df-op 4406 df-uni 4661 df-int 4700 df-iun 4744 df-br 4876 df-opab 4938 df-mpt 4955 df-tr 4978 df-id 5252 df-eprel 5257 df-po 5265 df-so 5266 df-fr 5305 df-se 5306 df-we 5307 df-xp 5352 df-rel 5353 df-cnv 5354 df-co 5355 df-dm 5356 df-rn 5357 df-res 5358 df-ima 5359 df-pred 5924 df-ord 5970 df-on 5971 df-lim 5972 df-suc 5973 df-iota 6090 df-fun 6129 df-fn 6130 df-f 6131 df-f1 6132 df-fo 6133 df-f1o 6134 df-fv 6135 df-isom 6136 df-riota 6871 df-ov 6913 df-oprab 6914 df-mpt2 6915 df-om 7332 df-1st 7433 df-2nd 7434 df-wrecs 7677 df-recs 7739 df-rdg 7777 df-1o 7831 df-oadd 7835 df-er 8014 df-en 8229 df-dom 8230 df-sdom 8231 df-fin 8232 df-sup 8623 df-oi 8691 df-card 9085 df-pnf 10400 df-mnf 10401 df-xr 10402 df-ltxr 10403 df-le 10404 df-sub 10594 df-neg 10595 df-div 11017 df-nn 11358 df-2 11421 df-3 11422 df-n0 11626 df-z 11712 df-uz 11976 df-rp 12120 df-ico 12476 df-icc 12477 df-fz 12627 df-fzo 12768 df-seq 13103 df-exp 13162 df-hash 13418 df-cj 14223 df-re 14224 df-im 14225 df-sqrt 14359 df-abs 14360 df-clim 14603 df-sum 14801 df-sumge0 41365

This theorem is referenced by: sge0uzfsumgt 41446 sge0seq 41448

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