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Theorem sge0gtfsumgt 46399
Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gtfsumgt.k 𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gtfsumgt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
sge0gtfsumgt (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem sge0gtfsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0gtfsumgt.k . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑘Σ^
3 nfmpt1 5256 . . . . . . 7 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
42, 3nffv 6917 . . . . . 6 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵))
5 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘
64, 5nfel 2918 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ
71, 6nfan 1897 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
8 sge0gtfsumgt.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
10 icossicc 13473 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11 sge0gtfsumgt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1210, 11sselid 3993 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 sge0gtfsumgt.l . . . . . 6 (𝜑𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
16 sge0gtfsumgt.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
19 difrp 13071 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+))
2115, 20mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ+)
227, 9, 13, 21, 18sge0ltfirpmpt2 46382 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)))
24 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
251, 24nfan 1897 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26 elinel2 4212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
29 elpwinss 44989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑦𝐴)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑦)
3230, 31sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
3332adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
34 rge0ssre 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3534, 11sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3628, 33, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
3725, 27, 36fsumreclf 45532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
3837recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
3938ad4ant13 751 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
4018ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
4140recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
4217ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
4342recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
4441, 43subcld 11618 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
4539, 44addcomd 11461 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4623, 45breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵))
4740, 42resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
4837ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
4940, 47, 48ltsubadd2d 11859 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
5046, 49mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5141, 43nncand 11623 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
5251breq1d 5158 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘𝑦 𝐵𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5350, 52mpbid 232 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
5453ex 412 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5554reximdva 3166 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑦 𝐵 + ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵))
5622, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
57 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
59 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
601, 11, 59fmptdf 7137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
6260, 61fssd 6754 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
638, 62sge0repnf 46342 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6463adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
6558, 64mtbid 324 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
66 notnotb 315 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
6765, 66sylibr 234 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
684nfeq1 2919 . . . . 5 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞
691, 68nfan 1897 . . . 4 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
708adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐴𝑉)
7111adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7316adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
7469, 70, 71, 72, 73sge0pnffsumgt 46398 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7557, 67, 74syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
7656, 75pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘𝑦 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cmin 11490  +crp 13032  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  46400  sge0seq  46402
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