Proof of Theorem sge0gtfsumgt
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0gtfsumgt.k |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑘𝜑 |
| 2 | | nfcv 2905 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘Σ^ |
| 3 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
| 4 | 2, 3 | nffv 6916 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) |
| 5 | | nfcv 2905 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑘ℝ |
| 6 | 4, 5 | nfel 2920 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ |
| 7 | 1, 6 | nfan 1899 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 8 | | sge0gtfsumgt.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 10 | | icossicc 13476 |
. . . . . 6
⊢
(0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞) |
| 11 | | sge0gtfsumgt.b |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 12 | 10, 11 | sselid 3981 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 13 | 12 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 14 | | sge0gtfsumgt.l |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 <
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) |
| 15 | 14 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 <
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) |
| 16 | | sge0gtfsumgt.c |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 17 | 16 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 18 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 19 | | difrp 13073 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 <
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈
ℝ+)) |
| 20 | 17, 18, 19 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 <
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈
ℝ+)) |
| 21 | 15, 20 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈
ℝ+) |
| 22 | 7, 9, 13, 21, 18 | sge0ltfirpmpt2 46441 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) |
| 23 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) |
| 24 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) |
| 25 | 1, 24 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 26 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 27 | 26 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 28 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑) |
| 29 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 30 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 31 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦) |
| 32 | 30, 31 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴) |
| 33 | 32 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴) |
| 34 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 35 | 34, 11 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 36 | 28, 33, 35 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 37 | 25, 27, 36 | fsumreclf 45591 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ) |
| 38 | 37 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ) |
| 39 | 38 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ) |
| 40 | 18 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 41 | 40 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ) |
| 42 | 17 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 43 | 42 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 44 | 41, 43 | subcld 11620 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ) |
| 45 | 39, 44 | addcomd 11463 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) =
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 46 | 23, 45 | breqtrd 5169 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 47 | 40, 42 | resubcld 11691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ) |
| 48 | 37 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ) |
| 49 | 40, 47, 48 | ltsubadd2d 11861 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) −
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))) |
| 50 | 46, 49 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) −
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 51 | 41, 43 | nncand 11625 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) −
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶) |
| 52 | 51 | breq1d 5153 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) →
(((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) −
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 53 | 50, 52 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 54 | 53 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 55 | 54 | reximdva 3168 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 +
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)) |
| 56 | 22, 55 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 57 | | simpl 482 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑) |
| 58 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
| 60 | 1, 11, 59 | fmptdf 7137 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) |
| 61 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆
(0[,]+∞)) |
| 62 | 60, 61 | fssd 6753 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 63 | 8, 62 | sge0repnf 46401 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)) |
| 64 | 63 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) →
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)) |
| 65 | 58, 64 | mtbid 324 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 66 | | notnotb 315 |
. . . 4
⊢
((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 67 | 65, 66 | sylibr 234 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 68 | 4 | nfeq1 2921 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑘(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ |
| 69 | 1, 68 | nfan 1899 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 70 | 8 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 71 | 11 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 72 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) →
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 73 | 16 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 74 | 69, 70, 71, 72, 73 | sge0pnffsumgt 46457 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 75 | 57, 67, 74 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 76 | 56, 75 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) |