sge0gtfsumgt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0gtfsumgt 45159

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gtfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑦 𝑦,𝐵 𝑦,𝐶 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem sge0gtfsumgt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^{^}
3		nfmpt1 5257	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	2, 3	nffv 6902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
5		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
6	4, 5	nfel 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		icossicc 13413	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15	14	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
17	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
19		difrp 13012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
21	15, 20	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺)
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 45142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
23		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
24		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25	1, 24	nfan 1903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		elinel2 4197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
27	26	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
29		elpwinss 43736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
30	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
31		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		rge0ssre 13433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
35	34, 11	sselid 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
36	28, 33, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	25, 27, 36	fsumreclf 44292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ad4ant13 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
40	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ)
42	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	42	recnd 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
45	39, 44	addcomd 11416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
46	23, 45	breqtrd 5175	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
47	40, 42	resubcld 11642	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
48	37	ad4ant13 750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 11812	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)))
50	46, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
51	41, 43	nncand 11576	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
52	51	breq1d 5159	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
53	50, 52	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
54	53	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
55	54	reximdva 3169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
56	22, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
57		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
59		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
60	1, 11, 59	fmptdf 7117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
62	60, 61	fssd 6736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
63	8, 62	sge0repnf 45102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
64	63	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
65	58, 64	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
66		notnotb 315	. . . 4 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
67	65, 66	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
68	4	nfeq1 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞
69	1, 68	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
70	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
71	11	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
73	16	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 45158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
75	57, 67, 74	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
76	56, 75	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 Ⅎwnf 1786 ∈ wcel 2107 ∃wrex 3071 ∩ cin 3948 ⊆ wss 3949 𝒫 cpw 4603 class class class wbr 5149 ↦ cmpt 5232 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 Fincfn 8939 ℂcc 11108 ℝcr 11109 0cc0 11110 + caddc 11113 +∞cpnf 11245 < clt 11248 − cmin 11444 ℝ⁺crp 12974 [,)cico 13326 [,]cicc 13327 Σcsu 15632 Σ^{^}csumge0 45078

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9437 df-oi 9505 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-ico 13330 df-icc 13331 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-seq 13967 df-exp 14028 df-hash 14291 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-clim 15432 df-sum 15633 df-sumge0 45079

This theorem is referenced by: sge0uzfsumgt 45160 sge0seq 45162

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