sge0gtfsumgt - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem sge0gtfsumgt 46724

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is larger than a given number, then that number can be dominated by a finite subsum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0gtfsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gtfsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0gtfsumgt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
sge0gtfsumgt.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
sge0gtfsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘,𝑦 𝑦,𝐵 𝑦,𝐶 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝐵(𝑘) 𝐶(𝑘) 𝑉(𝑦,𝑘)

**Proof of Theorem sge0gtfsumgt**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gtfsumgt.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘Σ^{^}
3		nfmpt1 5196	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	2, 3	nffv 6843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
5		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
6	4, 5	nfel 2912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ
7	1, 6	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
8		sge0gtfsumgt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		icossicc 13354	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		sge0gtfsumgt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13	12	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14		sge0gtfsumgt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
16		sge0gtfsumgt.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
19		difrp 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐶 < (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺))
21	15, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ⁺)
22	7, 9, 13, 21, 18	sge0ltfirpmpt2 46707	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)))
24		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
25	1, 24	nfan 1901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
26		elinel2 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
28		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
29		elpwinss 45331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑦)
32	30, 31	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
33	32	adantll 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		rge0ssre 13374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
35	34, 11	sselid 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
36	28, 33, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	25, 27, 36	fsumreclf 45859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
38	37	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
39	38	ad4ant13 752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
40	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℂ)
42	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	42	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℂ)
45	39, 44	addcomd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
46	23, 45	breqtrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
47	40, 42	resubcld 11567	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) ∈ ℝ)
48	37	ad4ant13 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℝ)
49	40, 47, 48	ltsubadd2d 11737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶) + Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)))
50	46, 49	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
51	41, 43	nncand 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) = 𝐶)
52	51	breq1d 5107	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → (((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ↔ 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
53	50, 52	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶))) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
54	53	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → 𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
55	54	reximdva 3148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) − 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
56	22, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
57		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → 𝜑)
58		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
59		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
60	1, 11, 59	fmptdf 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
62	60, 61	fssd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
63	8, 62	sge0repnf 46667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
64	63	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞))
65	58, 64	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
66		notnotb 315	. . . 4 ⊢ ((Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
67	65, 66	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
68	4	nfeq1 2913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞
69	1, 68	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
70	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
71	11	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
72		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
73	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
74	69, 70, 71, 72, 73	sge0pnffsumgt 46723	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
75	57, 67, 74	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^{^}‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
76	56, 75	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 < Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 Ⅎwnf 1785 ∈ wcel 2114 ∃wrex 3059 ∩ cin 3899 ⊆ wss 3900 𝒫 cpw 4553 class class class wbr 5097 ↦ cmpt 5178 ‘cfv 6491 (class class class)co 7358 Fincfn 8885 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 + caddc 11031 +∞cpnf 11165 < clt 11168 − cmin 11366 ℝ⁺crp 12907 [,)cico 13265 [,]cicc 13266 Σcsu 15611 Σ^{^}csumge0 46643

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2183 ax-ext 2707 ax-rep 5223 ax-sep 5240 ax-nul 5250 ax-pow 5309 ax-pr 5376 ax-un 7680 ax-inf2 9552 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2538 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2810 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3399 df-v 3441 df-sbc 3740 df-csb 3849 df-dif 3903 df-un 3905 df-in 3907 df-ss 3917 df-pss 3920 df-nul 4285 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4902 df-iun 4947 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6258 df-ord 6319 df-on 6320 df-lim 6321 df-suc 6322 df-iota 6447 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-isom 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-er 8635 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-fin 8889 df-sup 9347 df-oi 9417 df-card 9853 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-3 12211 df-n0 12404 df-z 12491 df-uz 12754 df-rp 12908 df-ico 13269 df-icc 13270 df-fz 13426 df-fzo 13573 df-seq 13927 df-exp 13987 df-hash 14256 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-clim 15413 df-sum 15612 df-sumge0 46644

This theorem is referenced by: sge0uzfsumgt 46725 sge0seq 46727

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