Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0pnffsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0pnffsumgt 46398
Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0pnffsumgt.k 𝑘𝜑
sge0pnffsumgt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0pnffsumgt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0pnffsumgt.p (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
sge0pnffsumgt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0pnffsumgt (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0pnffsumgt.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0pnffsumgt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 icossicc 13473 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4 sge0pnffsumgt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
53, 4sselid 3993 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 sge0pnffsumgt.p . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7 sge0pnffsumgt.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
81, 2, 5, 6, 7sge0pnffigtmpt 46396 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
9 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
10 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
111, 10nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
15 elpwinss 44989 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1615sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
1716adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
1814, 17, 4syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1911, 13, 18sge0fsummptf 46392 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) = Σ𝑘𝑥 𝐵)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) = Σ𝑘𝑥 𝐵)
219, 20breqtrd 5174 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → 𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
2221ex 412 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) → 𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵))
2322reximdva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵))
248, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wrex 3068  cin 3962  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290   < clt 11293  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0gtfsumgt  46399
  Copyright terms: Public domain W3C validator