Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0pnffsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0pnffsumgt 45031
Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0pnffsumgt.k 𝑘𝜑
sge0pnffsumgt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0pnffsumgt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0pnffsumgt.p (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
sge0pnffsumgt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0pnffsumgt (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffsumgt
StepHypRef Expression
1 sge0pnffsumgt.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0pnffsumgt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 icossicc 13400 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4 sge0pnffsumgt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
53, 4sselid 3978 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 sge0pnffsumgt.p . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7 sge0pnffsumgt.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
81, 2, 5, 6, 7sge0pnffigtmpt 45029 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
9 simpr 486 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
10 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
111, 10nfan 1903 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 elinel2 4194 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
15 elpwinss 43607 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1615sselda 3980 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
1716adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
1814, 17, 4syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
1911, 13, 18sge0fsummptf 45025 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) = Σ𝑘𝑥 𝐵)
2019adantr 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) = Σ𝑘𝑥 𝐵)
219, 20breqtrd 5170 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))) → 𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
2221ex 414 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) → 𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵))
2322reximdva 3169 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵))
248, 23mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘𝑥 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wrex 3071  cin 3945  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6535  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  cr 11096  0cc0 11097  +∞cpnf 11232   < clt 11235  [,)cico 13313  [,]cicc 13314  Σcsu 15619  Σ^csumge0 44951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-sum 15620  df-sumge0 44952
This theorem is referenced by:  sge0gtfsumgt  45032
  Copyright terms: Public domain W3C validator