Theorem sge0pnffsumgt 45889

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnffsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnffsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0pnffsumgt.p	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
sge0pnffsumgt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffsumgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffsumgt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0pnffsumgt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		icossicc 13440	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4		sge0pnffsumgt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5	3, 4	sselid 3971	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		sge0pnffsumgt.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
7		sge0pnffsumgt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	1, 2, 5, 6, 7	sge0pnffigtmpt 45887	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
9		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
10		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11	1, 10	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		elinel2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
15		elpwinss 44474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
16	15	sselda 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	16	adantll 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	14, 17, 4	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
19	11, 13, 18	sge0fsummptf 45883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
20	19	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
21	9, 20	breqtrd 5170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → 𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
22	21	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) → 𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵))
23	22	reximdva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵))
24	8, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ∩ cin 3940  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  ℝcr 11132  0cc0 11133  +∞cpnf 11270   < clt 11273  [,)cico 13353  [,]cicc 13354  Σcsu 15659  Σ^{^}csumge0 45809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-sumge0 45810

This theorem is referenced by:  sge0gtfsumgt  45890