Theorem sge0pnffsumgt 47271

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffsumgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnffsumgt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnffsumgt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0pnffsumgt.p	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
sge0pnffsumgt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffsumgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffsumgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffsumgt.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0pnffsumgt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		icossicc 13490	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4		sge0pnffsumgt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
5	3, 4	sselid 3929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		sge0pnffsumgt.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
7		sge0pnffsumgt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	1, 2, 5, 6, 7	sge0pnffigtmpt 47269	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
9		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
10		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11	1, 10	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
15		elpwinss 45884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
16	15	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
17	16	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	14, 17, 4	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
19	11, 13, 18	sge0fsummptf 47265	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
21	9, 20	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) → 𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) → 𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵))
23	22	reximdva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵))
24	8, 23	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < Σ𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℝcr 11124  0cc0 11125  +∞cpnf 11265   < clt 11268  [,)cico 13401  [,]cicc 13402  Σcsu 15774  Σ^{^}csumge0 47191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-sum 15775  df-sumge0 47192

This theorem is used by:  sge0gtfsumgt  47272