MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnxmet 23382
Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnxmet (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet
StepHypRef Expression
1 cnmet 23381 . 2 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2 metxmet 22945 . 2 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
31, 2ax-mp 5 1 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2112  ccom 5527  cfv 6328  cc 10528  cmin 10863  abscabs 14589  ∞Metcxmet 20080  Metcmet 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-xmet 20088  df-met 20089
This theorem is referenced by:  cnbl0  23383  cnfldms  23385  cnfldtopn  23391  cnfldhaus  23394  blcvx  23407  tgioo2  23412  recld2  23423  zdis  23425  reperflem  23427  addcnlem  23473  divcn  23477  iitopon  23488  dfii3  23492  cncfmet  23518  cncfcn  23519  cnheibor  23564  cnllycmp  23565  ipcn  23854  lmclim  23911  cnflduss  23964  reust  23989  ellimc3  24486  dvlipcn  24601  dvlip2  24602  dv11cn  24608  lhop1lem  24620  ftc1lem6  24648  ulmdvlem1  24999  ulmdvlem3  25001  psercn  25025  pserdvlem2  25027  pserdv  25028  abelthlem2  25031  abelthlem3  25032  abelthlem5  25034  abelthlem7  25037  abelth  25040  dvlog2lem  25247  dvlog2  25248  efopnlem2  25252  efopn  25253  logtayl  25255  logtayl2  25257  cxpcn3  25341  rlimcnp  25555  xrlimcnp  25558  efrlim  25559  lgamucov  25627  lgamcvg2  25644  ftalem3  25664  smcnlem  28484  hhcnf  29692  tpr2rico  31269  qqhucn  31347  blsconn  32605  cnllysconn  32606  ftc1cnnc  35128  cntotbnd  35233  reheibor  35276  binomcxplemdvbinom  41054  binomcxplemnotnn0  41057  iooabslt  42133  limcrecl  42268  islpcn  42278  stirlinglem5  42717
  Copyright terms: Public domain W3C validator