Theorem cnxmet 24908

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24907	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24470	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  ℂcc 11097   − cmin 11440  abscabs 15284  ∞Metcxmet 21486  Metcmet 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-xmet 21494  df-met 21495

This theorem is referenced by:  cnbl0  24909  cnfldms  24911  cnfldtopn  24917  cnfldhaus  24920  blcvx  24934  tgioo2  24939  recld2  24951  zdis  24953  reperflem  24955  addcnlem  25001  divcn  25006  iitopon  25017  dfii3  25021  cncfmet  25047  cncfcn  25048  cnheibor  25093  cnllycmp  25094  ipcn  25384  lmclim  25441  cnflduss  25494  reust  25519  ellimc3  26017  dvlipcn  26132  dvlip2  26133  dv11cn  26139  lhop1lem  26151  ftc1lem6  26179  ulmdvlem1  26539  ulmdvlem3  26541  psercn  26565  pserdvlem2  26567  pserdv  26568  abelthlem2  26571  abelthlem3  26572  abelthlem5  26574  abelthlem7  26577  abelth  26580  dvlog2lem  26793  dvlog2  26794  efopnlem2  26798  efopn  26799  logtayl  26801  logtayl2  26803  cxpcn3  26889  rlimcnp  27106  xrlimcnp  27109  efrlim  27110  lgamucov  27178  lgamcvg2  27195  ftalem3  27215  smcnlem  31015  hhcnf  32223  tpr2rico  34268  qqhucn  34348  blsconn  35690  cnllysconn  35691  ftc1cnnc  38287  cntotbnd  38391  reheibor  38434  binomcxplemdvbinom  45011  binomcxplemnotnn0  45014  iooabslt  46163  limcrecl  46293  islpcn  46301  stirlinglem5  46740