Theorem cnxmet 24697

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24696	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24259	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  ℂcc 11014   − cmin 11354  abscabs 15151  ∞Metcxmet 21286  Metcmet 21287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-xadd 13022  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-xmet 21294  df-met 21295

This theorem is referenced by:  cnbl0  24698  cnfldms  24700  cnfldtopn  24706  cnfldhaus  24709  blcvx  24723  tgioo2  24728  recld2  24740  zdis  24742  reperflem  24744  addcnlem  24790  divcnOLD  24794  divcn  24796  iitopon  24809  dfii3  24813  cncfmet  24839  cncfcn  24840  cnheibor  24891  cnllycmp  24892  ipcn  25183  lmclim  25240  cnflduss  25293  reust  25318  ellimc3  25817  dvlipcn  25936  dvlip2  25937  dv11cn  25943  lhop1lem  25955  ftc1lem6  25985  ulmdvlem1  26346  ulmdvlem3  26348  psercn  26373  pserdvlem2  26375  pserdv  26376  abelthlem2  26379  abelthlem3  26380  abelthlem5  26382  abelthlem7  26385  abelth  26388  dvlog2lem  26598  dvlog2  26599  efopnlem2  26603  efopn  26604  logtayl  26606  logtayl2  26608  cxpcn3  26695  rlimcnp  26912  xrlimcnp  26915  efrlim  26916  efrlimOLD  26917  lgamucov  26985  lgamcvg2  27002  ftalem3  27022  smcnlem  30688  hhcnf  31896  tpr2rico  33936  qqhucn  34016  blsconn  35299  cnllysconn  35300  ftc1cnnc  37742  cntotbnd  37846  reheibor  37889  binomcxplemdvbinom  44460  binomcxplemnotnn0  44463  iooabslt  45613  limcrecl  45743  islpcn  45751  stirlinglem5  46190