Theorem cnxmet 24999

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24998	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24561	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  ℂcc 11125   − cmin 11468  abscabs 15323  ∞Metcxmet 21571  Metcmet 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-xmet 21579  df-met 21580

This theorem is used by:  cnbl0  25000  cnfldms  25002  cnfldtopn  25008  cnfldhaus  25011  blcvx  25025  tgioo2  25030  recld2  25042  zdis  25044  reperflem  25046  addcnlem  25092  divcn  25097  iitopon  25108  dfii3  25112  cncfmet  25138  cncfcn  25139  cnheibor  25184  cnllycmp  25185  ipcn  25475  lmclim  25532  cnflduss  25585  reust  25610  ellimc3  26108  dvlipcn  26223  dvlip2  26224  dv11cn  26230  lhop1lem  26242  ftc1lem6  26270  ulmdvlem1  26633  ulmdvlem3  26635  psercn  26659  pserdvlem2  26661  pserdv  26662  abelthlem2  26665  abelthlem3  26666  abelthlem5  26668  abelthlem7  26671  abelth  26674  dvlog2lem  26887  dvlog2  26888  efopnlem2  26892  efopn  26893  logtayl  26895  logtayl2  26897  cxpcn3  26983  rlimcnp  27200  xrlimcnp  27203  efrlim  27204  lgamucov  27272  lgamcvg2  27289  ftalem3  27309  smcnlem  31164  hhcnf  32372  tpr2rico  34409  qqhucn  34489  blsconn  35810  cnllysconn  35811  ftc1cnnc  38428  cntotbnd  38533  reheibor  38576  binomcxplemdvbinom  45164  binomcxplemnotnn0  45167  iooabslt  46316  limcrecl  46446  islpcn  46454  stirlinglem5  46893