Theorem cnxmet 25091

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 25090	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24653	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  ℂcc 11198   − cmin 11541  abscabs 15401  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-xmet 21671  df-met 21672

This theorem is used by:  cnbl0  25092  cnfldms  25094  cnfldtopn  25100  cnfldhaus  25103  blcvx  25117  tgioo2  25122  recld2  25134  zdis  25136  reperflem  25138  addcnlem  25184  divcn  25189  iitopon  25200  dfii3  25204  cncfmet  25230  cncfcn  25231  cnheibor  25276  cnllycmp  25277  ipcn  25567  lmclim  25624  cnflduss  25677  reust  25702  ellimc3  26199  dvlipcn  26314  dvlip2  26315  dv11cn  26321  lhop1lem  26333  ftc1lem6  26361  ulmdvlem1  26727  ulmdvlem3  26729  psercn  26753  pserdvlem2  26755  pserdv  26756  abelthlem2  26759  abelthlem3  26760  abelthlem5  26762  abelthlem7  26765  abelth  26768  dvlog2lem  26980  dvlog2  26981  efopnlem2  26985  efopn  26986  logtayl  26988  logtayl2  26990  cxpcn3  27076  rlimcnp  27293  xrlimcnp  27296  efrlim  27297  lgamucov  27365  lgamcvg2  27382  ftalem3  27402  smcnlem  31299  hhcnf  32507  tpr2rico  34586  qqhucn  34666  blsconn  36051  cnllysconn  36052  ftc1cnnc  38653  cntotbnd  38773  reheibor  38816  binomcxplemdvbinom  45380  binomcxplemnotnn0  45383  iooabslt  46554  limcrecl  46684  islpcn  46692  stirlinglem5  47131