Theorem cnxmet 24721

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24720	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24283	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  ℂcc 11029   − cmin 11369  abscabs 15162  ∞Metcxmet 21299  Metcmet 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-xadd 13032  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-xmet 21307  df-met 21308

This theorem is referenced by:  cnbl0  24722  cnfldms  24724  cnfldtopn  24730  cnfldhaus  24733  blcvx  24747  tgioo2  24752  recld2  24764  zdis  24766  reperflem  24768  addcnlem  24814  divcnOLD  24818  divcn  24820  iitopon  24833  dfii3  24837  cncfmet  24863  cncfcn  24864  cnheibor  24915  cnllycmp  24916  ipcn  25207  lmclim  25264  cnflduss  25317  reust  25342  ellimc3  25841  dvlipcn  25960  dvlip2  25961  dv11cn  25967  lhop1lem  25979  ftc1lem6  26009  ulmdvlem1  26370  ulmdvlem3  26372  psercn  26397  pserdvlem2  26399  pserdv  26400  abelthlem2  26403  abelthlem3  26404  abelthlem5  26406  abelthlem7  26409  abelth  26412  dvlog2lem  26622  dvlog2  26623  efopnlem2  26627  efopn  26628  logtayl  26630  logtayl2  26632  cxpcn3  26719  rlimcnp  26936  xrlimcnp  26939  efrlim  26940  efrlimOLD  26941  lgamucov  27009  lgamcvg2  27026  ftalem3  27046  smcnlem  30777  hhcnf  31985  tpr2rico  34082  qqhucn  34162  blsconn  35451  cnllysconn  35452  ftc1cnnc  37906  cntotbnd  38010  reheibor  38053  binomcxplemdvbinom  44672  binomcxplemnotnn0  44675  iooabslt  45822  limcrecl  45952  islpcn  45960  stirlinglem5  46399