Theorem cnxmet 24711

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24710	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24273	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  ℂcc 11127   − cmin 11466  abscabs 15253  ∞Metcxmet 21300  Metcmet 21301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-xadd 13129  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-xmet 21308  df-met 21309

This theorem is referenced by:  cnbl0  24712  cnfldms  24714  cnfldtopn  24720  cnfldhaus  24723  blcvx  24737  tgioo2  24742  recld2  24754  zdis  24756  reperflem  24758  addcnlem  24804  divcnOLD  24808  divcn  24810  iitopon  24823  dfii3  24827  cncfmet  24853  cncfcn  24854  cnheibor  24905  cnllycmp  24906  ipcn  25198  lmclim  25255  cnflduss  25308  reust  25333  ellimc3  25832  dvlipcn  25951  dvlip2  25952  dv11cn  25958  lhop1lem  25970  ftc1lem6  26000  ulmdvlem1  26361  ulmdvlem3  26363  psercn  26388  pserdvlem2  26390  pserdv  26391  abelthlem2  26394  abelthlem3  26395  abelthlem5  26397  abelthlem7  26400  abelth  26403  dvlog2lem  26613  dvlog2  26614  efopnlem2  26618  efopn  26619  logtayl  26621  logtayl2  26623  cxpcn3  26710  rlimcnp  26927  xrlimcnp  26930  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  lgamucov  27000  lgamcvg2  27017  ftalem3  27037  smcnlem  30678  hhcnf  31886  tpr2rico  33943  qqhucn  34023  blsconn  35266  cnllysconn  35267  ftc1cnnc  37716  cntotbnd  37820  reheibor  37863  binomcxplemdvbinom  44377  binomcxplemnotnn0  44380  iooabslt  45528  limcrecl  45658  islpcn  45668  stirlinglem5  46107