Theorem cnxmet 24510

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24509	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24061	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11111   − cmin 11449  abscabs 15186  ∞Metcxmet 21130  Metcmet 21131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-xmet 21138  df-met 21139

This theorem is referenced by:  cnbl0  24511  cnfldms  24513  cnfldtopn  24519  cnfldhaus  24522  blcvx  24535  tgioo2  24540  recld2  24551  zdis  24553  reperflem  24555  addcnlem  24601  divcnOLD  24605  divcn  24607  iitopon  24620  dfii3  24624  cncfmet  24650  cncfcn  24651  cnheibor  24702  cnllycmp  24703  ipcn  24995  lmclim  25052  cnflduss  25105  reust  25130  ellimc3  25629  dvlipcn  25747  dvlip2  25748  dv11cn  25754  lhop1lem  25766  ftc1lem6  25794  ulmdvlem1  26149  ulmdvlem3  26151  psercn  26175  pserdvlem2  26177  pserdv  26178  abelthlem2  26181  abelthlem3  26182  abelthlem5  26184  abelthlem7  26187  abelth  26190  dvlog2lem  26397  dvlog2  26398  efopnlem2  26402  efopn  26403  logtayl  26405  logtayl2  26407  cxpcn3  26493  rlimcnp  26707  xrlimcnp  26710  efrlim  26711  lgamucov  26779  lgamcvg2  26796  ftalem3  26816  smcnlem  30218  hhcnf  31426  tpr2rico  33191  qqhucn  33271  blsconn  34534  cnllysconn  34535  ftc1cnnc  36864  cntotbnd  36968  reheibor  37011  binomcxplemdvbinom  43415  binomcxplemnotnn0  43418  iooabslt  44511  limcrecl  44644  islpcn  44654  stirlinglem5  45093