Theorem cnxmet 24801

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24800	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24363	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2132   ∘ ccom 5640  ‘cfv 6506  ℂcc 11057   − cmin 11400  abscabs 15233  ∞Metcxmet 21378  Metcmet 21379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-xadd 13101  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-xmet 21386  df-met 21387

This theorem is referenced by:  cnbl0  24802  cnfldms  24804  cnfldtopn  24810  cnfldhaus  24813  blcvx  24827  tgioo2  24832  recld2  24844  zdis  24846  reperflem  24848  addcnlem  24894  divcn  24899  iitopon  24910  dfii3  24914  cncfmet  24940  cncfcn  24941  cnheibor  24986  cnllycmp  24987  ipcn  25277  lmclim  25334  cnflduss  25387  reust  25412  ellimc3  25910  dvlipcn  26025  dvlip2  26026  dv11cn  26032  lhop1lem  26044  ftc1lem6  26072  ulmdvlem1  26429  ulmdvlem3  26431  psercn  26455  pserdvlem2  26457  pserdv  26458  abelthlem2  26461  abelthlem3  26462  abelthlem5  26464  abelthlem7  26467  abelth  26470  dvlog2lem  26683  dvlog2  26684  efopnlem2  26688  efopn  26689  logtayl  26691  logtayl2  26693  cxpcn3  26779  rlimcnp  26996  xrlimcnp  26999  efrlim  27000  lgamucov  27068  lgamcvg2  27085  ftalem3  27105  smcnlem  30835  hhcnf  32043  tpr2rico  34153  qqhucn  34233  blsconn  35532  cnllysconn  35533  ftc1cnnc  38129  cntotbnd  38233  reheibor  38276  binomcxplemdvbinom  44867  binomcxplemnotnn0  44870  iooabslt  46013  limcrecl  46143  islpcn  46151  stirlinglem5  46590