Theorem cnxmet 24940

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24939	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24502	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  ℂcc 11104   − cmin 11447  abscabs 15292  ∞Metcxmet 21518  Metcmet 21519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-xadd 13144  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-xmet 21526  df-met 21527

This theorem is used by:  cnbl0  24941  cnfldms  24943  cnfldtopn  24949  cnfldhaus  24952  blcvx  24966  tgioo2  24971  recld2  24983  zdis  24985  reperflem  24987  addcnlem  25033  divcn  25038  iitopon  25049  dfii3  25053  cncfmet  25079  cncfcn  25080  cnheibor  25125  cnllycmp  25126  ipcn  25416  lmclim  25473  cnflduss  25526  reust  25551  ellimc3  26049  dvlipcn  26164  dvlip2  26165  dv11cn  26171  lhop1lem  26183  ftc1lem6  26211  ulmdvlem1  26574  ulmdvlem3  26576  psercn  26600  pserdvlem2  26602  pserdv  26603  abelthlem2  26606  abelthlem3  26607  abelthlem5  26609  abelthlem7  26612  abelth  26615  dvlog2lem  26828  dvlog2  26829  efopnlem2  26833  efopn  26834  logtayl  26836  logtayl2  26838  cxpcn3  26924  rlimcnp  27141  xrlimcnp  27144  efrlim  27145  lgamucov  27213  lgamcvg2  27230  ftalem3  27250  smcnlem  31060  hhcnf  32268  tpr2rico  34311  qqhucn  34391  blsconn  35744  cnllysconn  35745  ftc1cnnc  38371  cntotbnd  38475  reheibor  38518  binomcxplemdvbinom  45091  binomcxplemnotnn0  45094  iooabslt  46243  limcrecl  46373  islpcn  46381  stirlinglem5  46820