Theorem cnxmet 24808

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24807	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24359	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5692  ‘cfv 6562  ℂcc 11150   − cmin 11489  abscabs 15269  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-xmet 21374  df-met 21375

This theorem is referenced by:  cnbl0  24809  cnfldms  24811  cnfldtopn  24817  cnfldhaus  24820  blcvx  24833  tgioo2  24838  recld2  24849  zdis  24851  reperflem  24853  addcnlem  24899  divcnOLD  24903  divcn  24905  iitopon  24918  dfii3  24922  cncfmet  24948  cncfcn  24949  cnheibor  25000  cnllycmp  25001  ipcn  25293  lmclim  25350  cnflduss  25403  reust  25428  ellimc3  25928  dvlipcn  26047  dvlip2  26048  dv11cn  26054  lhop1lem  26066  ftc1lem6  26096  ulmdvlem1  26457  ulmdvlem3  26459  psercn  26484  pserdvlem2  26486  pserdv  26487  abelthlem2  26490  abelthlem3  26491  abelthlem5  26493  abelthlem7  26496  abelth  26499  dvlog2lem  26708  dvlog2  26709  efopnlem2  26713  efopn  26714  logtayl  26716  logtayl2  26718  cxpcn3  26805  rlimcnp  27022  xrlimcnp  27025  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  lgamucov  27095  lgamcvg2  27112  ftalem3  27132  smcnlem  30725  hhcnf  31933  tpr2rico  33872  qqhucn  33954  blsconn  35228  cnllysconn  35229  ftc1cnnc  37678  cntotbnd  37782  reheibor  37825  binomcxplemdvbinom  44348  binomcxplemnotnn0  44351  iooabslt  45451  limcrecl  45584  islpcn  45594  stirlinglem5  46033