Theorem cnxmet 23842

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 23841	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 23395	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  ℂcc 10800   − cmin 11135  abscabs 14873  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-xmet 20503  df-met 20504

This theorem is referenced by:  cnbl0  23843  cnfldms  23845  cnfldtopn  23851  cnfldhaus  23854  blcvx  23867  tgioo2  23872  recld2  23883  zdis  23885  reperflem  23887  addcnlem  23933  divcn  23937  iitopon  23948  dfii3  23952  cncfmet  23978  cncfcn  23979  cnheibor  24024  cnllycmp  24025  ipcn  24315  lmclim  24372  cnflduss  24425  reust  24450  ellimc3  24948  dvlipcn  25063  dvlip2  25064  dv11cn  25070  lhop1lem  25082  ftc1lem6  25110  ulmdvlem1  25464  ulmdvlem3  25466  psercn  25490  pserdvlem2  25492  pserdv  25493  abelthlem2  25496  abelthlem3  25497  abelthlem5  25499  abelthlem7  25502  abelth  25505  dvlog2lem  25712  dvlog2  25713  efopnlem2  25717  efopn  25718  logtayl  25720  logtayl2  25722  cxpcn3  25806  rlimcnp  26020  xrlimcnp  26023  efrlim  26024  lgamucov  26092  lgamcvg2  26109  ftalem3  26129  smcnlem  28960  hhcnf  30168  tpr2rico  31764  qqhucn  31842  blsconn  33106  cnllysconn  33107  ftc1cnnc  35776  cntotbnd  35881  reheibor  35924  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  iooabslt  42927  limcrecl  43060  islpcn  43070  stirlinglem5  43509