Theorem cnxmet 23074

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 23073	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 22637	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2048   ∘ ccom 5404  ‘cfv 6182  ℂcc 10325   − cmin 10662  abscabs 14444  ∞Metcxmet 20222  Metcmet 20223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-xadd 12318  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-xmet 20230  df-met 20231

This theorem is referenced by:  cnbl0  23075  cnfldms  23077  cnfldtopn  23083  cnfldhaus  23086  blcvx  23099  tgioo2  23104  recld2  23115  zdis  23117  reperflem  23119  addcnlem  23165  divcn  23169  iitopon  23180  dfii3  23184  cncfmet  23209  cncfcn  23210  cnheibor  23252  cnllycmp  23253  ipcn  23542  lmclim  23599  cnflduss  23652  reust  23677  ellimc3  24170  dvlipcn  24284  dvlip2  24285  dv11cn  24291  lhop1lem  24303  ftc1lem6  24331  ulmdvlem1  24681  ulmdvlem3  24683  psercn  24707  pserdvlem2  24709  pserdv  24710  abelthlem2  24713  abelthlem3  24714  abelthlem5  24716  abelthlem7  24719  abelth  24722  dvlog2lem  24926  dvlog2  24927  efopnlem2  24931  efopn  24932  logtayl  24934  logtayl2  24936  cxpcn3  25020  rlimcnp  25235  xrlimcnp  25238  efrlim  25239  lgamucov  25307  lgamcvg2  25324  ftalem3  25344  smcnlem  28241  hhcnf  29453  tpr2rico  30756  qqhucn  30834  blsconn  32036  cnllysconn  32037  ftc1cnnc  34355  cntotbnd  34464  reheibor  34507  binomcxplemdvbinom  40045  binomcxplemnotnn0  40048  iooabslt  41151  limcrecl  41287  islpcn  41297  stirlinglem5  41740