Theorem cnxmet 24720

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24719	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24282	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6493  ℂcc 11028   − cmin 11368  abscabs 15161  ∞Metcxmet 21298  Metcmet 21299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-xadd 13031  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-xmet 21306  df-met 21307

This theorem is referenced by:  cnbl0  24721  cnfldms  24723  cnfldtopn  24729  cnfldhaus  24732  blcvx  24746  tgioo2  24751  recld2  24763  zdis  24765  reperflem  24767  addcnlem  24813  divcnOLD  24817  divcn  24819  iitopon  24832  dfii3  24836  cncfmet  24862  cncfcn  24863  cnheibor  24914  cnllycmp  24915  ipcn  25206  lmclim  25263  cnflduss  25316  reust  25341  ellimc3  25840  dvlipcn  25959  dvlip2  25960  dv11cn  25966  lhop1lem  25978  ftc1lem6  26008  ulmdvlem1  26369  ulmdvlem3  26371  psercn  26396  pserdvlem2  26398  pserdv  26399  abelthlem2  26402  abelthlem3  26403  abelthlem5  26405  abelthlem7  26408  abelth  26411  dvlog2lem  26621  dvlog2  26622  efopnlem2  26626  efopn  26627  logtayl  26629  logtayl2  26631  cxpcn3  26718  rlimcnp  26935  xrlimcnp  26938  efrlim  26939  efrlimOLD  26940  lgamucov  27008  lgamcvg2  27025  ftalem3  27045  smcnlem  30755  hhcnf  31963  tpr2rico  34050  qqhucn  34130  blsconn  35419  cnllysconn  35420  ftc1cnnc  37864  cntotbnd  37968  reheibor  38011  binomcxplemdvbinom  44630  binomcxplemnotnn0  44633  iooabslt  45781  limcrecl  45911  islpcn  45919  stirlinglem5  46358