Theorem cnxmet 24737

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24736	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24299	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  ℂcc 11036   − cmin 11377  abscabs 15196  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-xmet 21345  df-met 21346

This theorem is referenced by:  cnbl0  24738  cnfldms  24740  cnfldtopn  24746  cnfldhaus  24749  blcvx  24763  tgioo2  24768  recld2  24780  zdis  24782  reperflem  24784  addcnlem  24830  divcn  24835  iitopon  24846  dfii3  24850  cncfmet  24876  cncfcn  24877  cnheibor  24922  cnllycmp  24923  ipcn  25213  lmclim  25270  cnflduss  25323  reust  25348  ellimc3  25846  dvlipcn  25961  dvlip2  25962  dv11cn  25968  lhop1lem  25980  ftc1lem6  26008  ulmdvlem1  26365  ulmdvlem3  26367  psercn  26391  pserdvlem2  26393  pserdv  26394  abelthlem2  26397  abelthlem3  26398  abelthlem5  26400  abelthlem7  26403  abelth  26406  dvlog2lem  26616  dvlog2  26617  efopnlem2  26621  efopn  26622  logtayl  26624  logtayl2  26626  cxpcn3  26712  rlimcnp  26929  xrlimcnp  26932  efrlim  26933  lgamucov  27001  lgamcvg2  27018  ftalem3  27038  smcnlem  30768  hhcnf  31976  tpr2rico  34056  qqhucn  34136  blsconn  35426  cnllysconn  35427  ftc1cnnc  38013  cntotbnd  38117  reheibor  38160  binomcxplemdvbinom  44780  binomcxplemnotnn0  44783  iooabslt  45929  limcrecl  46059  islpcn  46067  stirlinglem5  46506