Theorem cnxmet 23380

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 23379	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 22943	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6354  ℂcc 10534   − cmin 10869  abscabs 14592  ∞Metcxmet 20529  Metcmet 20530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-xmet 20537  df-met 20538

This theorem is referenced by:  cnbl0  23381  cnfldms  23383  cnfldtopn  23389  cnfldhaus  23392  blcvx  23405  tgioo2  23410  recld2  23421  zdis  23423  reperflem  23425  addcnlem  23471  divcn  23475  iitopon  23486  dfii3  23490  cncfmet  23515  cncfcn  23516  cnheibor  23558  cnllycmp  23559  ipcn  23848  lmclim  23905  cnflduss  23958  reust  23983  ellimc3  24476  dvlipcn  24590  dvlip2  24591  dv11cn  24597  lhop1lem  24609  ftc1lem6  24637  ulmdvlem1  24987  ulmdvlem3  24989  psercn  25013  pserdvlem2  25015  pserdv  25016  abelthlem2  25019  abelthlem3  25020  abelthlem5  25022  abelthlem7  25025  abelth  25028  dvlog2lem  25234  dvlog2  25235  efopnlem2  25239  efopn  25240  logtayl  25242  logtayl2  25244  cxpcn3  25328  rlimcnp  25542  xrlimcnp  25545  efrlim  25546  lgamucov  25614  lgamcvg2  25631  ftalem3  25651  smcnlem  28473  hhcnf  29681  tpr2rico  31155  qqhucn  31233  blsconn  32491  cnllysconn  32492  ftc1cnnc  34965  cntotbnd  35073  reheibor  35116  binomcxplemdvbinom  40683  binomcxplemnotnn0  40686  iooabslt  41772  limcrecl  41908  islpcn  41918  stirlinglem5  42362