Theorem cnxmet 24715

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24714	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24277	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  ℂcc 11025   − cmin 11365  abscabs 15158  ∞Metcxmet 21296  Metcmet 21297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-xadd 13028  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-xmet 21304  df-met 21305

This theorem is referenced by:  cnbl0  24716  cnfldms  24718  cnfldtopn  24724  cnfldhaus  24727  blcvx  24741  tgioo2  24746  recld2  24758  zdis  24760  reperflem  24762  addcnlem  24808  divcn  24813  iitopon  24824  dfii3  24828  cncfmet  24854  cncfcn  24855  cnheibor  24900  cnllycmp  24901  ipcn  25191  lmclim  25248  cnflduss  25301  reust  25326  ellimc3  25824  dvlipcn  25940  dvlip2  25941  dv11cn  25947  lhop1lem  25959  ftc1lem6  25989  ulmdvlem1  26349  ulmdvlem3  26351  psercn  26376  pserdvlem2  26378  pserdv  26379  abelthlem2  26382  abelthlem3  26383  abelthlem5  26385  abelthlem7  26388  abelth  26391  dvlog2lem  26601  dvlog2  26602  efopnlem2  26606  efopn  26607  logtayl  26609  logtayl2  26611  cxpcn3  26698  rlimcnp  26915  xrlimcnp  26918  efrlim  26919  efrlimOLD  26920  lgamucov  26988  lgamcvg2  27005  ftalem3  27025  smcnlem  30757  hhcnf  31965  tpr2rico  34062  qqhucn  34142  blsconn  35432  cnllysconn  35433  ftc1cnnc  38004  cntotbnd  38108  reheibor  38151  binomcxplemdvbinom  44783  binomcxplemnotnn0  44786  iooabslt  45933  limcrecl  46063  islpcn  46071  stirlinglem5  46510