Theorem cnxmet 24716

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24715	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24278	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  ℂcc 11024   − cmin 11364  abscabs 15157  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xadd 13027  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-xmet 21302  df-met 21303

This theorem is referenced by:  cnbl0  24717  cnfldms  24719  cnfldtopn  24725  cnfldhaus  24728  blcvx  24742  tgioo2  24747  recld2  24759  zdis  24761  reperflem  24763  addcnlem  24809  divcnOLD  24813  divcn  24815  iitopon  24828  dfii3  24832  cncfmet  24858  cncfcn  24859  cnheibor  24910  cnllycmp  24911  ipcn  25202  lmclim  25259  cnflduss  25312  reust  25337  ellimc3  25836  dvlipcn  25955  dvlip2  25956  dv11cn  25962  lhop1lem  25974  ftc1lem6  26004  ulmdvlem1  26365  ulmdvlem3  26367  psercn  26392  pserdvlem2  26394  pserdv  26395  abelthlem2  26398  abelthlem3  26399  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  abelth  26407  dvlog2lem  26617  dvlog2  26618  efopnlem2  26622  efopn  26623  logtayl  26625  logtayl2  26627  cxpcn3  26714  rlimcnp  26931  xrlimcnp  26934  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  lgamucov  27004  lgamcvg2  27021  ftalem3  27041  smcnlem  30772  hhcnf  31980  tpr2rico  34069  qqhucn  34149  blsconn  35438  cnllysconn  35439  ftc1cnnc  37889  cntotbnd  37993  reheibor  38036  binomcxplemdvbinom  44590  binomcxplemnotnn0  44593  iooabslt  45741  limcrecl  45871  islpcn  45879  stirlinglem5  46318