Theorem cnxmet 24793

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24792	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24344	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  ℂcc 11153   − cmin 11492  abscabs 15273  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-xmet 21357  df-met 21358

This theorem is referenced by:  cnbl0  24794  cnfldms  24796  cnfldtopn  24802  cnfldhaus  24805  blcvx  24819  tgioo2  24824  recld2  24836  zdis  24838  reperflem  24840  addcnlem  24886  divcnOLD  24890  divcn  24892  iitopon  24905  dfii3  24909  cncfmet  24935  cncfcn  24936  cnheibor  24987  cnllycmp  24988  ipcn  25280  lmclim  25337  cnflduss  25390  reust  25415  ellimc3  25914  dvlipcn  26033  dvlip2  26034  dv11cn  26040  lhop1lem  26052  ftc1lem6  26082  ulmdvlem1  26443  ulmdvlem3  26445  psercn  26470  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  abelthlem2  26476  abelthlem3  26477  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  abelth  26485  dvlog2lem  26694  dvlog2  26695  efopnlem2  26699  efopn  26700  logtayl  26702  logtayl2  26704  cxpcn3  26791  rlimcnp  27008  xrlimcnp  27011  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgamucov  27081  lgamcvg2  27098  ftalem3  27118  smcnlem  30716  hhcnf  31924  tpr2rico  33911  qqhucn  33993  blsconn  35249  cnllysconn  35250  ftc1cnnc  37699  cntotbnd  37803  reheibor  37846  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  iooabslt  45512  limcrecl  45644  islpcn  45654  stirlinglem5  46093