Theorem cnxmet 25121

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 25120	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24683	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  ℂcc 11225   − cmin 11568  abscabs 15430  ∞Metcxmet 21693  Metcmet 21694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-xadd 13269  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-xmet 21701  df-met 21702

This theorem is used by:  cnbl0  25122  cnfldms  25124  cnfldtopn  25130  cnfldhaus  25133  blcvx  25147  tgioo2  25152  recld2  25164  zdis  25166  reperflem  25168  addcnlem  25214  divcn  25219  iitopon  25230  dfii3  25234  cncfmet  25260  cncfcn  25261  cnheibor  25306  cnllycmp  25307  ipcn  25597  lmclim  25654  cnflduss  25707  reust  25732  ellimc3  26229  dvlipcn  26344  dvlip2  26345  dv11cn  26351  lhop1lem  26363  ftc1lem6  26391  ulmdvlem1  26757  ulmdvlem3  26759  psercn  26783  pserdvlem2  26785  pserdv  26786  abelthlem2  26789  abelthlem3  26790  abelthlem5  26792  abelthlem7  26795  abelth  26798  dvlog2lem  27010  dvlog2  27011  efopnlem2  27015  efopn  27016  logtayl  27018  logtayl2  27020  cxpcn3  27106  rlimcnp  27323  xrlimcnp  27326  efrlim  27327  lgamucov  27395  lgamcvg2  27412  ftalem3  27432  smcnlem  31329  hhcnf  32537  tpr2rico  34614  qqhucn  34694  blsconn  36176  cnllysconn  36177  ftc1cnnc  38802  cntotbnd  38922  reheibor  38965  binomcxplemdvbinom  45529  binomcxplemnotnn0  45532  iooabslt  46716  limcrecl  46846  islpcn  46854  stirlinglem5  47293