Theorem cnxmet 23945

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 23944	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 23496	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ∘ ccom 5594  ‘cfv 6437  ℂcc 10878   − cmin 11214  abscabs 14954  ∞Metcxmet 20591  Metcmet 20592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-xadd 12858  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-xmet 20599  df-met 20600

This theorem is referenced by:  cnbl0  23946  cnfldms  23948  cnfldtopn  23954  cnfldhaus  23957  blcvx  23970  tgioo2  23975  recld2  23986  zdis  23988  reperflem  23990  addcnlem  24036  divcn  24040  iitopon  24051  dfii3  24055  cncfmet  24081  cncfcn  24082  cnheibor  24127  cnllycmp  24128  ipcn  24419  lmclim  24476  cnflduss  24529  reust  24554  ellimc3  25052  dvlipcn  25167  dvlip2  25168  dv11cn  25174  lhop1lem  25186  ftc1lem6  25214  ulmdvlem1  25568  ulmdvlem3  25570  psercn  25594  pserdvlem2  25596  pserdv  25597  abelthlem2  25600  abelthlem3  25601  abelthlem5  25603  abelthlem7  25606  abelth  25609  dvlog2lem  25816  dvlog2  25817  efopnlem2  25821  efopn  25822  logtayl  25824  logtayl2  25826  cxpcn3  25910  rlimcnp  26124  xrlimcnp  26127  efrlim  26128  lgamucov  26196  lgamcvg2  26213  ftalem3  26233  smcnlem  29068  hhcnf  30276  tpr2rico  31871  qqhucn  31951  blsconn  33215  cnllysconn  33216  ftc1cnnc  35858  cntotbnd  35963  reheibor  36006  binomcxplemdvbinom  41978  binomcxplemnotnn0  41981  iooabslt  43044  limcrecl  43177  islpcn  43187  stirlinglem5  43626