Theorem cnxmet 23624

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 23623	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 23186	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2112   ∘ ccom 5540  ‘cfv 6358  ℂcc 10692   − cmin 11027  abscabs 14762  ∞Metcxmet 20302  Metcmet 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-xadd 12670  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-xmet 20310  df-met 20311

This theorem is referenced by:  cnbl0  23625  cnfldms  23627  cnfldtopn  23633  cnfldhaus  23636  blcvx  23649  tgioo2  23654  recld2  23665  zdis  23667  reperflem  23669  addcnlem  23715  divcn  23719  iitopon  23730  dfii3  23734  cncfmet  23760  cncfcn  23761  cnheibor  23806  cnllycmp  23807  ipcn  24097  lmclim  24154  cnflduss  24207  reust  24232  ellimc3  24730  dvlipcn  24845  dvlip2  24846  dv11cn  24852  lhop1lem  24864  ftc1lem6  24892  ulmdvlem1  25246  ulmdvlem3  25248  psercn  25272  pserdvlem2  25274  pserdv  25275  abelthlem2  25278  abelthlem3  25279  abelthlem5  25281  abelthlem7  25284  abelth  25287  dvlog2lem  25494  dvlog2  25495  efopnlem2  25499  efopn  25500  logtayl  25502  logtayl2  25504  cxpcn3  25588  rlimcnp  25802  xrlimcnp  25805  efrlim  25806  lgamucov  25874  lgamcvg2  25891  ftalem3  25911  smcnlem  28732  hhcnf  29940  tpr2rico  31530  qqhucn  31608  blsconn  32873  cnllysconn  32874  ftc1cnnc  35535  cntotbnd  35640  reheibor  35683  binomcxplemdvbinom  41585  binomcxplemnotnn0  41588  iooabslt  42653  limcrecl  42788  islpcn  42798  stirlinglem5  43237