Theorem cnxmet 24693

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24692	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24255	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  ℂcc 11042   − cmin 11381  abscabs 15176  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-xmet 21289  df-met 21290

This theorem is referenced by:  cnbl0  24694  cnfldms  24696  cnfldtopn  24702  cnfldhaus  24705  blcvx  24719  tgioo2  24724  recld2  24736  zdis  24738  reperflem  24740  addcnlem  24786  divcnOLD  24790  divcn  24792  iitopon  24805  dfii3  24809  cncfmet  24835  cncfcn  24836  cnheibor  24887  cnllycmp  24888  ipcn  25179  lmclim  25236  cnflduss  25289  reust  25314  ellimc3  25813  dvlipcn  25932  dvlip2  25933  dv11cn  25939  lhop1lem  25951  ftc1lem6  25981  ulmdvlem1  26342  ulmdvlem3  26344  psercn  26369  pserdvlem2  26371  pserdv  26372  abelthlem2  26375  abelthlem3  26376  abelthlem5  26378  abelthlem7  26381  abelth  26384  dvlog2lem  26594  dvlog2  26595  efopnlem2  26599  efopn  26600  logtayl  26602  logtayl2  26604  cxpcn3  26691  rlimcnp  26908  xrlimcnp  26911  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  lgamucov  26981  lgamcvg2  26998  ftalem3  27018  smcnlem  30676  hhcnf  31884  tpr2rico  33895  qqhucn  33975  blsconn  35224  cnllysconn  35225  ftc1cnnc  37679  cntotbnd  37783  reheibor  37826  binomcxplemdvbinom  44335  binomcxplemnotnn0  44338  iooabslt  45490  limcrecl  45620  islpcn  45630  stirlinglem5  46069