Theorem cnxmet 24680

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24679	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24242	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6477  ℂcc 10996   − cmin 11336  abscabs 15133  ∞Metcxmet 21269  Metcmet 21270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-xadd 13004  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-xmet 21277  df-met 21278

This theorem is referenced by:  cnbl0  24681  cnfldms  24683  cnfldtopn  24689  cnfldhaus  24692  blcvx  24706  tgioo2  24711  recld2  24723  zdis  24725  reperflem  24727  addcnlem  24773  divcnOLD  24777  divcn  24779  iitopon  24792  dfii3  24796  cncfmet  24822  cncfcn  24823  cnheibor  24874  cnllycmp  24875  ipcn  25166  lmclim  25223  cnflduss  25276  reust  25301  ellimc3  25800  dvlipcn  25919  dvlip2  25920  dv11cn  25926  lhop1lem  25938  ftc1lem6  25968  ulmdvlem1  26329  ulmdvlem3  26331  psercn  26356  pserdvlem2  26358  pserdv  26359  abelthlem2  26362  abelthlem3  26363  abelthlem5  26365  abelthlem7  26368  abelth  26371  dvlog2lem  26581  dvlog2  26582  efopnlem2  26586  efopn  26587  logtayl  26589  logtayl2  26591  cxpcn3  26678  rlimcnp  26895  xrlimcnp  26898  efrlim  26899  efrlimOLD  26900  lgamucov  26968  lgamcvg2  26985  ftalem3  27005  smcnlem  30667  hhcnf  31875  tpr2rico  33915  qqhucn  33995  blsconn  35256  cnllysconn  35257  ftc1cnnc  37711  cntotbnd  37815  reheibor  37858  binomcxplemdvbinom  44365  binomcxplemnotnn0  44368  iooabslt  45518  limcrecl  45648  islpcn  45656  stirlinglem5  46095