Theorem cnxmet 24839

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24838	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24401	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6521  ℂcc 11082   − cmin 11425  abscabs 15271  ∞Metcxmet 21416  Metcmet 21417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-xadd 13125  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-xmet 21424  df-met 21425

This theorem is referenced by:  cnbl0  24840  cnfldms  24842  cnfldtopn  24848  cnfldhaus  24851  blcvx  24865  tgioo2  24870  recld2  24882  zdis  24884  reperflem  24886  addcnlem  24932  divcn  24937  iitopon  24948  dfii3  24952  cncfmet  24978  cncfcn  24979  cnheibor  25024  cnllycmp  25025  ipcn  25315  lmclim  25372  cnflduss  25425  reust  25450  ellimc3  25948  dvlipcn  26063  dvlip2  26064  dv11cn  26070  lhop1lem  26082  ftc1lem6  26110  ulmdvlem1  26470  ulmdvlem3  26472  psercn  26496  pserdvlem2  26498  pserdv  26499  abelthlem2  26502  abelthlem3  26503  abelthlem5  26505  abelthlem7  26508  abelth  26511  dvlog2lem  26724  dvlog2  26725  efopnlem2  26729  efopn  26730  logtayl  26732  logtayl2  26734  cxpcn3  26820  rlimcnp  27037  xrlimcnp  27040  efrlim  27041  lgamucov  27109  lgamcvg2  27126  ftalem3  27146  smcnlem  30907  hhcnf  32115  tpr2rico  34211  qqhucn  34291  blsconn  35599  cnllysconn  35600  ftc1cnnc  38196  cntotbnd  38300  reheibor  38343  binomcxplemdvbinom  44920  binomcxplemnotnn0  44923  iooabslt  46066  limcrecl  46196  islpcn  46204  stirlinglem5  46643