Theorem cnxmet 25052

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 25051	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24614	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  ℂcc 11169   − cmin 11512  abscabs 15368  ∞Metcxmet 21624  Metcmet 21625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-xadd 13211  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-xmet 21632  df-met 21633

This theorem is used by:  cnbl0  25053  cnfldms  25055  cnfldtopn  25061  cnfldhaus  25064  blcvx  25078  tgioo2  25083  recld2  25095  zdis  25097  reperflem  25099  addcnlem  25145  divcn  25150  iitopon  25161  dfii3  25165  cncfmet  25191  cncfcn  25192  cnheibor  25237  cnllycmp  25238  ipcn  25528  lmclim  25585  cnflduss  25638  reust  25663  ellimc3  26160  dvlipcn  26275  dvlip2  26276  dv11cn  26282  lhop1lem  26294  ftc1lem6  26322  ulmdvlem1  26690  ulmdvlem3  26692  psercn  26716  pserdvlem2  26718  pserdv  26719  abelthlem2  26722  abelthlem3  26723  abelthlem5  26725  abelthlem7  26728  abelth  26731  dvlog2lem  26943  dvlog2  26944  efopnlem2  26948  efopn  26949  logtayl  26951  logtayl2  26953  cxpcn3  27039  rlimcnp  27256  xrlimcnp  27259  efrlim  27260  lgamucov  27328  lgamcvg2  27345  ftalem3  27365  smcnlem  31232  hhcnf  32440  tpr2rico  34477  qqhucn  34557  blsconn  35930  cnllysconn  35931  ftc1cnnc  38530  cntotbnd  38650  reheibor  38693  binomcxplemdvbinom  45281  binomcxplemnotnn0  45284  iooabslt  46433  limcrecl  46563  islpcn  46571  stirlinglem5  47010