Theorem cnxmet 24814

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 24813	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 24365	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  ℂcc 11182   − cmin 11520  abscabs 15283  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-xmet 21380  df-met 21381

This theorem is referenced by:  cnbl0  24815  cnfldms  24817  cnfldtopn  24823  cnfldhaus  24826  blcvx  24839  tgioo2  24844  recld2  24855  zdis  24857  reperflem  24859  addcnlem  24905  divcnOLD  24909  divcn  24911  iitopon  24924  dfii3  24928  cncfmet  24954  cncfcn  24955  cnheibor  25006  cnllycmp  25007  ipcn  25299  lmclim  25356  cnflduss  25409  reust  25434  ellimc3  25934  dvlipcn  26053  dvlip2  26054  dv11cn  26060  lhop1lem  26072  ftc1lem6  26102  ulmdvlem1  26461  ulmdvlem3  26463  psercn  26488  pserdvlem2  26490  pserdv  26491  abelthlem2  26494  abelthlem3  26495  abelthlem5  26497  abelthlem7  26500  abelth  26503  dvlog2lem  26712  dvlog2  26713  efopnlem2  26717  efopn  26718  logtayl  26720  logtayl2  26722  cxpcn3  26809  rlimcnp  27026  xrlimcnp  27029  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  lgamucov  27099  lgamcvg2  27116  ftalem3  27136  smcnlem  30729  hhcnf  31937  tpr2rico  33858  qqhucn  33938  blsconn  35212  cnllysconn  35213  ftc1cnnc  37652  cntotbnd  37756  reheibor  37799  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  iooabslt  45417  limcrecl  45550  islpcn  45560  stirlinglem5  45999