Theorem zringlpir 21478

Description: The integers are a principal ideal ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zringlpir	⊢ ℤring ∈ LPIR

Proof of Theorem zringlpir

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21460	. 2 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {0} → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ≠ {0})
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < )
6	3, 4, 5	zringlpirlem2 21474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥)
7		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ {0})
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
10	7, 8, 5, 9	zringlpirlem3 21475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
11	10	ralrimiva 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
12		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (𝑦 ∥ 𝑧 ↔ inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
13	12	ralbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
14	13	rspcev 3622	. . . . . 6 ⊢ ((inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧)
15	6, 11, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧)
16		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘ℤring) = (LPIdeal‘ℤring)
18		dvdsrzring 21472	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
19	16, 17, 18	lpigen 21345	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
20	1, 19	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
22	15, 21	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
23		zring0 21469	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
24	17, 23	lpi0 21336	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
26	2, 22, 25	pm2.61ne 3027	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
27	26	ssriv 3987	. 2 ⊢ (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)
28	17, 16	islpir2 21340	. 2 ⊢ (ℤring ∈ LPIR ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)))
29	1, 27, 28	mpbir2an 711	1 ⊢ ℤring ∈ LPIR

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  infcinf 9481  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  ℕcn 12266   ∥ cdvds 16290  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  LPIdealclpidl 21330  LPIRclpir 21331  ℤ_ringczring 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-dvdsr 20357  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-lpidl 21332  df-lpir 21333  df-cnfld 21365  df-zring 21458

This theorem is referenced by:  zringpid  33580