Theorem zringlpir 21239

Description: The integers are a principal ideal ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zringlpir	⊢ ℤring ∈ LPIR

Proof of Theorem zringlpir

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21221	. 2 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		eleq1 2820	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {0} → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ≠ {0})
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < )
6	3, 4, 5	zringlpirlem2 21235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥)
7		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ {0})
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
10	7, 8, 5, 9	zringlpirlem3 21236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
11	10	ralrimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧)
12		breq1 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (𝑦 ∥ 𝑧 ↔ inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
13	12	ralbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧))
14	13	rspcev 3613	. . . . . 6 ⊢ ((inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 inf((𝑥 ∩ ℕ), ℝ, < ) ∥ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧)
15	6, 11, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧)
16		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘ℤring) = (LPIdeal‘ℤring)
18		dvdsrzring 21233	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
19	16, 17, 18	lpigen 21095	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
20	1, 19	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → (𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ∥ 𝑧))
22	15, 21	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑥 ≠ {0}) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
23		zring0 21230	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
24	17, 23	lpi0 21086	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → {0} ∈ (LPIdeal‘ℤring))
26	2, 22, 25	pm2.61ne 3026	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝑥 ∈ (LPIdeal‘ℤring))
27	26	ssriv 3987	. 2 ⊢ (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)
28	17, 16	islpir2 21090	. 2 ⊢ (ℤring ∈ LPIR ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (LIdeal‘ℤring) ⊆ (LPIdeal‘ℤring)))
29	1, 27, 28	mpbir2an 708	1 ⊢ ℤring ∈ LPIR

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  infcinf 9439  ℝcr 11112  0cc0 11113   < clt 11253  ℕcn 12217   ∥ cdvds 16202  Ringcrg 20128  LIdealclidl 20929  LPIdealclpidl 21080  LPIRclpir 21081  ℤ_ringczring 21218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-dvdsr 20249  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-lpidl 21082  df-lpir 21083  df-cnfld 21146  df-zring 21219

This theorem is referenced by: (None)