Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfgi 38422
Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
Assertion
Ref Expression
islssfgi ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6426 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
32elpw2 5021 . . . . . 6 (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉𝐵𝑉)
43biimpri 220 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
543ad2ant2 1165 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6 simp3 1169 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
75, 6elind 3997 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8 eqid 2800 . . 3 (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)
9 fveqeq2 6421 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁𝑎) = (𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)))
109rspcev 3498 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
117, 8, 10sylancl 581 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
12 simp1 1167 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13 eqid 2800 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14 islssfgi.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
151, 13, 14lspcl 19296 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16153adant3 1163 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 islssfgi.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
1817, 13, 14, 1islssfg2 38421 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
1912, 16, 18syl2anc 580 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
2011, 19mpbird 249 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3091  cin 3769  wss 3770  𝒫 cpw 4350  cfv 6102  (class class class)co 6879  Fincfn 8196  Basecbs 16183  s cress 16184  LModclmod 19180  LSubSpclss 19249  LSpanclspn 19291  LFinGenclfig 38417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-sbg 17742  df-subg 17903  df-mgp 18805  df-ur 18817  df-ring 18864  df-lmod 19182  df-lss 19250  df-lsp 19292  df-lfig 38418
This theorem is referenced by:  lsmfgcl  38424  lmhmfgima  38434  lmhmfgsplit  38436
  Copyright terms: Public domain W3C validator