Theorem islssfgi 43500

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6854	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	elpw2 5275	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
5	4	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4140	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)
9		fveqeq2 6849	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵) ↔ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)))
10	9	rspcev 3564	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
11	7, 8, 10	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
12		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14		islssfgi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	1, 13, 14	lspcl 20971	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		islssfgi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))
18	17, 13, 14, 1	islssfg2 43499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
19	12, 16, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
20	11, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LFinGenclfig 43495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lfig 43496

This theorem is referenced by:  lsmfgcl  43502  lmhmfgima  43512  lmhmfgsplit  43514