Theorem islssfgi 40813

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	elpw2 5264	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
5	4	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4124	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)
9		fveqeq2 6765	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵) ↔ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)))
10	9	rspcev 3552	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
11	7, 8, 10	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
12		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14		islssfgi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	1, 13, 14	lspcl 20153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		islssfgi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))
18	17, 13, 14, 1	islssfg2 40812	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
19	12, 16, 18	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
20	11, 19	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LFinGenclfig 40808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lfig 40809

This theorem is referenced by:  lsmfgcl  40815  lmhmfgima  40825  lmhmfgsplit  40827