Theorem islssfgi 44278

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6925	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	elpw2 5301	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4100	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)
9		fveqeq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵) ↔ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)))
10	9	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
11	7, 8, 10	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
12		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14		islssfgi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	1, 13, 14	lspcl 21284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		islssfgi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))
18	17, 13, 14, 1	islssfg2 44277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
19	12, 16, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
20	11, 19	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  LSpanclspn 21279  LFinGenclfig 44273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lfig 44274

This theorem is used by:  lsmfgcl  44280  lmhmfgima  44290  lmhmfgsplit  44292