Theorem islssfgi 43061

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6921	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	elpw2 5340	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
5	4	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4210	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)
9		fveqeq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵) ↔ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)))
10	9	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
11	7, 8, 10	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
12		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14		islssfgi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	1, 13, 14	lspcl 20992	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		islssfgi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))
18	17, 13, 14, 1	islssfg2 43060	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
19	12, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
20	11, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LFinGenclfig 43056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lfig 43057

This theorem is referenced by:  lsmfgcl  43063  lmhmfgima  43073  lmhmfgsplit  43075