Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfgi 41800
Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
Assertion
Ref Expression
islssfgi ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6903 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
32elpw2 5345 . . . . . 6 (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉𝐵𝑉)
43biimpri 227 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
543ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
75, 6elind 4194 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8 eqid 2733 . . 3 (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)
9 fveqeq2 6898 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁𝑎) = (𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)))
109rspcev 3613 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
117, 8, 10sylancl 587 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
12 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14 islssfgi.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
151, 13, 14lspcl 20580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16153adant3 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 islssfgi.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
1817, 13, 14, 1islssfg2 41799 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
1912, 16, 18syl2anc 585 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
2011, 19mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602  cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  Basecbs 17141  s cress 17170  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575  LFinGenclfig 41795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lfig 41796
This theorem is referenced by:  lsmfgcl  41802  lmhmfgima  41812  lmhmfgsplit  41814
  Copyright terms: Public domain W3C validator