Theorem islssfgi 40374

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6665	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	elpw2 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
5	4	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
7	5, 6	elind 4095	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8		eqid 2759	. . 3 ⊢ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)
9		fveqeq2 6660	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵) ↔ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)))
10	9	rspcev 3539	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝐵) = (𝑁‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
11	7, 8, 10	sylancl 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵))
12		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14		islssfgi.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15	1, 13, 14	lspcl 19801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17		islssfgi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝑁‘𝐵))
18	17, 13, 14, 1	islssfg2 40373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
19	12, 16, 18	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁‘𝑎) = (𝑁‘𝐵)))
20	11, 19	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3069   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  𝒫 cpw 4487  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  Basecbs 16526   ↾_s cress 16527  LModclmod 19687  LSubSpclss 19756  LSpanclspn 19796  LFinGenclfig 40369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-lsp 19797  df-lfig 40370

This theorem is referenced by:  lsmfgcl  40376  lmhmfgima  40386  lmhmfgsplit  40388