Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfgi 40374
 Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfgi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islssfgi.x 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
Assertion
Ref Expression
islssfgi ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6665 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
32elpw2 5208 . . . . . 6 (𝐵 ∈ 𝒫 𝑉𝐵𝑉)
43biimpri 231 . . . . 5 (𝐵𝑉𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
543ad2ant2 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑉)
6 simp3 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
75, 6elind 4095 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
8 eqid 2759 . . 3 (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)
9 fveqeq2 6660 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → ((𝑁𝑎) = (𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)))
109rspcev 3539 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝐵) = (𝑁𝐵)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
117, 8, 10sylancl 590 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵))
12 simp1 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑊 ∈ LMod)
13 eqid 2759 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14 islssfgi.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
151, 13, 14lspcl 19801 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16153adant3 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17 islssfgi.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s (𝑁𝐵))
1817, 13, 14, 1islssfg2 40373 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
1912, 16, 18syl2anc 588 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝑁𝑎) = (𝑁𝐵)))
2011, 19mpbird 260 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑉𝐵 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ LFinGen)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3069   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  𝒫 cpw 4487  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  Basecbs 16526   ↾s cress 16527  LModclmod 19687  LSubSpclss 19756  LSpanclspn 19796  LFinGenclfig 40369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-lsp 19797  df-lfig 40370 This theorem is referenced by:  lsmfgcl  40376  lmhmfgima  40386  lmhmfgsplit  40388
 Copyright terms: Public domain W3C validator