Theorem lsmfgcl 43070

Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfgcl.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
lsmfgcl.e	⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
lsmfgcl.f	⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
lsmfgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.df	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)

Assertion

Ref	Expression
lsmfgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfgcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
2		lsmfgcl.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
3		lsmfgcl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsmfgcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
5		lsmfgcl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6		lsmfgcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islssfg2 43067	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
10	3, 4, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
11	2, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12		lsmfgcl.ef	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)
13		lsmfgcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
14		lsmfgcl.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
15	14, 6, 7, 8	islssfg2 43067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
16	3, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19		inss1 4203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
20	19	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
21	20	elpwid 4575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
22	19	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
23	22	elpwid 4575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24		lsmfgcl.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
25	8, 7, 24	lsmsp2 21001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
26	3, 21, 23, 25	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
27	26	3expb 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
28	27	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))))
29	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30		unss 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
32	21, 23, 31	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
35	34	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
36	34	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37		unfi 9141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
40		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
41	7, 8, 40	islssfgi 43068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
42	29, 33, 39, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
43	28, 42	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
44	43	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵))
46	45	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)))
47	46	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
48	44, 47	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
49	48	rexlimdva 3135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
50	18, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
51		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵) = (𝐴 ⊕ 𝐵))
52	51	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)))
53	52	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
54	50, 53	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
55	54	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
56	11, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
57	1, 56	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  LSSumclsm 19571  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LFinGenclfig 43063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lfig 43064

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  43082