Theorem lsmfgcl 39015

Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfgcl.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
lsmfgcl.e	⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
lsmfgcl.f	⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
lsmfgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.df	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)

Assertion

Ref	Expression
lsmfgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfgcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
2		lsmfgcl.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
3		lsmfgcl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsmfgcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
5		lsmfgcl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6		lsmfgcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islssfg2 39012	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
10	3, 4, 9	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
11	2, 10	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12		lsmfgcl.ef	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)
13		lsmfgcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
14		lsmfgcl.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
15	14, 6, 7, 8	islssfg2 39012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
16	3, 13, 15	syl2anc 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
17	12, 16	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
18	17	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19		inss1 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
20	19	sseli 3850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
21	20	elpwid 4428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
22	19	sseli 3850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
23	22	elpwid 4428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24		lsmfgcl.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
25	8, 7, 24	lsmsp2 19571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
26	3, 21, 23, 25	syl3an 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
27	26	3expb 1100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
28	27	oveq2d 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))))
29	3	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30		unss 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
32	21, 23, 31	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
33	32	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34		inss2 4088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
35	34	sseli 3850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
36	34	sseli 3850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37		unfi 8572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
39	38	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
40		eqid 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
41	7, 8, 40	islssfgi 39013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
42	29, 33, 39, 41	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
43	28, 42	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
44	43	anassrs 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45		oveq2 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵))
46	45	oveq2d 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)))
47	46	eleq1d 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
48	44, 47	syl5ibcom 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
49	48	rexlimdva 3223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
50	18, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
51		oveq1 6977	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵) = (𝐴 ⊕ 𝐵))
52	51	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)))
53	52	eleq1d 2844	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
54	50, 53	syl5ibcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
55	54	rexlimdva 3223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
56	11, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
57	1, 56	syl5eqel 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083   ∪ cun 3823   ∩ cin 3824   ⊆ wss 3825  𝒫 cpw 4416  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  Basecbs 16329   ↾_s cress 16330  LSSumclsm 18510  LModclmod 19346  LSubSpclss 19415  LSpanclspn 19455  LFinGenclfig 39008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-subg 18050  df-cntz 18208  df-lsm 18512  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lsp 19456  df-lfig 39009

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  39027