Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmfgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmfgcl 43063
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
lsmfgcl.e 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
lsmfgcl.f 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
lsmfgcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a (𝜑𝐴𝑈)
lsmfgcl.b (𝜑𝐵𝑈)
lsmfgcl.df (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
2 lsmfgcl.df . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
3 lsmfgcl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsmfgcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
5 lsmfgcl.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
6 lsmfgcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
95, 6, 7, 8islssfg2 43060 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
103, 4, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
112, 10mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑈)
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
1514, 6, 7, 8islssfg2 43060 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
163, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
1712, 16mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19 inss1 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
2019sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2120elpwid 4614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
2219sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2322elpwid 4614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (LSSum‘𝑊)
258, 7, 24lsmsp2 21104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
263, 21, 23, 25syl3an 1159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
27263expb 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
2827oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))))
293adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30 unss 4200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3130biimpi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3221, 23, 31syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34 inss2 4246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
3534sseli 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
3634sseli 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37 unfi 9210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3835, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
40 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
417, 8, 40islssfgi 43061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎𝑏) ∈ Fin) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4229, 33, 39, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4328, 42eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
4443anassrs 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵))
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)))
4746eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4844, 47syl5ibcom 245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4948rexlimdva 3153 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
5018, 49mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen)
51 oveq1 7438 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵) = (𝐴 𝐵))
5251oveq2d 7447 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) = (𝑊s (𝐴 𝐵)))
5352eleq1d 2824 . . . . 5 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5450, 53syl5ibcom 245 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5554rexlimdva 3153 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5611, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen)
571, 56eqeltrid 2843 1 (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cun 3961  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  s cress 17274  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LFinGenclfig 43056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lfig 43057
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  43075
  Copyright terms: Public domain W3C validator