Theorem lsmfgcl 43861

Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfgcl.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
lsmfgcl.e	⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
lsmfgcl.f	⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
lsmfgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.df	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)

Assertion

Ref	Expression
lsmfgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfgcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
2		lsmfgcl.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
3		lsmfgcl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsmfgcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
5		lsmfgcl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6		lsmfgcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islssfg2 43858	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
10	3, 4, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
11	2, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12		lsmfgcl.ef	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)
13		lsmfgcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
14		lsmfgcl.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
15	14, 6, 7, 8	islssfg2 43858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
16	3, 13, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
17	12, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
20	19	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
21	20	elpwid 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
22	19	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
23	22	elpwid 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24		lsmfgcl.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
25	8, 7, 24	lsmsp2 21260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
26	3, 21, 23, 25	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
27	26	3expb 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
28	27	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))))
29	3	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30		unss 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
32	21, 23, 31	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
33	32	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
35	34	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
36	34	sseli 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37		unfi 9162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
40		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
41	7, 8, 40	islssfgi 43859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
42	29, 33, 39, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
43	28, 42	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
44	43	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵))
46	45	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)))
47	46	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
48	44, 47	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
49	48	rexlimdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
50	18, 49	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
51		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵) = (𝐴 ⊕ 𝐵))
52	51	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)))
53	52	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
54	50, 53	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
55	54	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
56	11, 55	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
57	1, 56	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  LSSumclsm 19750  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  LSpanclspn 21144  LFinGenclfig 43854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-ur 20310  df-ring 20363  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lfig 43855

This theorem is used by:  lmhmfgsplit  43873