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Theorem lsmfgcl 41430
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmfgcl.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmfgcl.d 𝐷 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
lsmfgcl.e 𝐸 = (π‘Š β†Ύs 𝐡)
lsmfgcl.f 𝐹 = (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡))
lsmfgcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lsmfgcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
lsmfgcl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
lsmfgcl.df (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ LFinGen)
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2 𝐹 = (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡))
2 lsmfgcl.df . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LFinGen)
3 lsmfgcl.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lsmfgcl.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
5 lsmfgcl.d . . . . . 6 𝐷 = (π‘Š β†Ύs 𝐴)
6 lsmfgcl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘Š)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8islssfg2 41427 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐷 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴))
103, 4, 9syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴))
112, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴)
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ LFinGen)
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (π‘Š β†Ύs 𝐡)
1514, 6, 7, 8islssfg2 41427 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐸 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡))
163, 13, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡))
1712, 16mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡)
19 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
2019sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
2120elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2219sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
2322elpwid 4574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
258, 7, 24lsmsp2 20564 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)))
263, 21, 23, 25syl3an 1161 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)))
27263expb 1121 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)))
2827oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) = (π‘Š β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏))))
293adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
30 unss 4149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3130biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3221, 23, 31syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
34 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) βŠ† Fin
3534sseli 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
3634sseli 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
37 unfi 9123 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
3835, 36, 37syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ Fin)
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏))) = (π‘Š β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)))
417, 8, 40islssfgi 41428 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ Fin) β†’ (π‘Š β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏))) ∈ LFinGen)
4229, 33, 39, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (π‘Š β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏))) ∈ LFinGen)
4328, 42eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin))) β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) ∈ LFinGen)
4443anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) ∈ LFinGen)
45 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡 β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘)) = (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡))
4645oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡 β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) = (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)))
4746eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡 β†’ ((π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘))) ∈ LFinGen ↔ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
4844, 47syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡 β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
4948rexlimdva 3153 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘) = 𝐡 β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
5018, 49mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen)
51 oveq1 7369 . . . . . . 7 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴 β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡) = (𝐴 βŠ• 𝐡))
5251oveq2d 7378 . . . . . 6 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴 β†’ (π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) = (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡)))
5352eleq1d 2823 . . . . 5 (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴 β†’ ((π‘Š β†Ύs (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen ↔ (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
5450, 53syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴 β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
5554rexlimdva 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π‘Ž) = 𝐴 β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen))
5611, 55mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs (𝐴 βŠ• 𝐡)) ∈ LFinGen)
571, 56eqeltrid 2842 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LFinGenclfig 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lfig 41424
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  41442
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