Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmfgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmfgcl 39552
Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfgcl.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
lsmfgcl.e 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
lsmfgcl.f 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
lsmfgcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a (𝜑𝐴𝑈)
lsmfgcl.b (𝜑𝐵𝑈)
lsmfgcl.df (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
Assertion
Ref Expression
lsmfgcl (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfgcl.f . 2 𝐹 = (𝑊s (𝐴 𝐵))
2 lsmfgcl.df . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LFinGen)
3 lsmfgcl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsmfgcl.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
5 lsmfgcl.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊s 𝐴)
6 lsmfgcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7 eqid 2818 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
95, 6, 7, 8islssfg2 39549 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
103, 4, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
112, 10mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12 lsmfgcl.ef . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ LFinGen)
13 lsmfgcl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑈)
14 lsmfgcl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑊s 𝐵)
1514, 6, 7, 8islssfg2 39549 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
163, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
1712, 16mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19 inss1 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
2019sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2120elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
2219sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
2322elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24 lsmfgcl.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (LSSum‘𝑊)
258, 7, 24lsmsp2 19788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
263, 21, 23, 25syl3an 1152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
27263expb 1112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
2827oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))))
293adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30 unss 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3130biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3221, 23, 31syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
3534sseli 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
3634sseli 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37 unfi 8773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3835, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎𝑏) ∈ Fin)
40 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) = (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏)))
417, 8, 40islssfgi 39550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎𝑏) ∈ Fin) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4229, 33, 39, 41syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎𝑏))) ∈ LFinGen)
4328, 42eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
4443anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵))
4645oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)))
4746eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4844, 47syl5ibcom 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
4948rexlimdva 3281 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen))
5018, 49mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen)
51 oveq1 7152 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵) = (𝐴 𝐵))
5251oveq2d 7161 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) = (𝑊s (𝐴 𝐵)))
5352eleq1d 2894 . . . . 5 (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5450, 53syl5ibcom 246 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5554rexlimdva 3281 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen))
5611, 55mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑊s (𝐴 𝐵)) ∈ LFinGen)
571, 56eqeltrid 2914 1 (𝜑𝐹 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  cun 3931  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  s cress 16472  LSSumclsm 18688  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LFinGenclfig 39545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lfig 39546
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  39564
  Copyright terms: Public domain W3C validator