Theorem lsmfgcl 43047

Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfgcl.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
lsmfgcl.e	⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
lsmfgcl.f	⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
lsmfgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.df	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)

Assertion

Ref	Expression
lsmfgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfgcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
2		lsmfgcl.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
3		lsmfgcl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsmfgcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
5		lsmfgcl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6		lsmfgcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islssfg2 43044	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
10	3, 4, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
11	2, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12		lsmfgcl.ef	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)
13		lsmfgcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
14		lsmfgcl.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
15	14, 6, 7, 8	islssfg2 43044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
16	3, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
17	12, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
20	19	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
21	20	elpwid 4560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
22	19	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
23	22	elpwid 4560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24		lsmfgcl.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
25	8, 7, 24	lsmsp2 20991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
26	3, 21, 23, 25	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
27	26	3expb 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
28	27	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))))
29	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30		unss 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
32	21, 23, 31	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
35	34	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
36	34	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37		unfi 9085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
41	7, 8, 40	islssfgi 43045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
42	29, 33, 39, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
43	28, 42	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
44	43	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45		oveq2 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵))
46	45	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)))
47	46	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
48	44, 47	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
49	48	rexlimdva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
50	18, 49	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
51		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵) = (𝐴 ⊕ 𝐵))
52	51	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)))
53	52	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
54	50, 53	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
55	54	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
56	11, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
57	1, 56	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  LSSumclsm 19513  LModclmod 20763  LSubSpclss 20834  LSpanclspn 20874  LFinGenclfig 43040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lfig 43041

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  43059