Theorem lsmfgcl 43753

Description: The sum of two finitely generated submodules is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfgcl.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsmfgcl.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmfgcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
lsmfgcl.e	⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
lsmfgcl.f	⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
lsmfgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmfgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
lsmfgcl.df	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
lsmfgcl.ef	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)

Assertion

Ref	Expression
lsmfgcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lsmfgcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfgcl.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵))
2		lsmfgcl.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LFinGen)
3		lsmfgcl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lsmfgcl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
5		lsmfgcl.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ↾s 𝐴)
6		lsmfgcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
7		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
8		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	islssfg2 43750	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
10	3, 4, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴))
11	2, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴)
12		lsmfgcl.ef	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LFinGen)
13		lsmfgcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
14		lsmfgcl.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (𝑊 ↾s 𝐵)
15	14, 6, 7, 8	islssfg2 43750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
16	3, 13, 15	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵))
17	12, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵)
19		inss1 4197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
20	19	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
21	20	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊))
22	19	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
23	22	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊))
24		lsmfgcl.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
25	8, 7, 24	lsmsp2 21191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
26	3, 21, 23, 25	syl3an 1176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
27	26	3expb 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
28	27	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))))
29	3	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → 𝑊 ∈ LMod)
30		unss 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
32	21, 23, 31	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
33	32	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊))
34		inss2 4198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ⊆ Fin
35	34	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑎 ∈ Fin)
36	34	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
37		unfi 9158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
39	38	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin)
40		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) = (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
41	7, 8, 40	islssfgi 43751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑎 ∪ 𝑏) ∈ Fin) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
42	29, 33, 39, 41	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s ((LSpan‘𝑊)‘(𝑎 ∪ 𝑏))) ∈ LFinGen)
43	28, 42	eqeltrd 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin))) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
44	43	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen)
45		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏)) = (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵))
46	45	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) = (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)))
47	46	eleq1d 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘𝑏))) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
48	44, 47	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
49	48	rexlimdva 3173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑏) = 𝐵 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
50	18, 49	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
51		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵) = (𝐴 ⊕ 𝐵))
52	51	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) = (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)))
53	52	eleq1d 2855	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → ((𝑊 ↾s (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen ↔ (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
54	50, 53	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
55	54	rexlimdva 3173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 (Base‘𝑊) ∩ Fin)((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = 𝐴 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen))
56	11, 55	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s (𝐴 ⊕ 𝐵)) ∈ LFinGen)
57	1, 56	eqeltrid 2874	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∃wrex 3096   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Fincfn 8946  Basecbs 17272   ↾_s cress 17293  LSSumclsm 19707  LModclmod 20964  LSubSpclss 21035  LSpanclspn 21075  LFinGenclfig 43746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-ur 20267  df-ring 20320  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lfig 43747

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  43765