MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperp2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isperp2d 26807
Description: One direction of isperp2 26806. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
isperp2d.u (𝜑𝑈𝐴)
isperp2d.v (𝜑𝑉𝐵)
isperp2d.p (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
isperp2d (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp2d.p . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isperp.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 isperp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 isperp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 isperp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 isperp2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isperp2 26806 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
111, 10mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12 isperp2d.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
13 isperp2d.v . . 3 (𝜑𝑉𝐵)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑢 = 𝑈)
15 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑋 = 𝑋)
16 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑣 = 𝑣)
1714, 15, 16s3eqd 14429 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
1817eleq1d 2822 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑈 = 𝑈)
20 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑋 = 𝑋)
21 id 22 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
2219, 20, 21s3eqd 14429 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
2322eleq1d 2822 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2418, 23rspc2v 3547 . . 3 ((𝑈𝐴𝑉𝐵) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2512, 13, 24syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2611, 25mpd 15 1 (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  cin 3865   class class class wbr 5053  ran crn 5552  cfv 6380  ⟨“cs3 14407  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  ∟Gcrag 26784  ⟂Gcperpg 26786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-cgrg 26602  df-mir 26744  df-rag 26785  df-perpg 26787
This theorem is referenced by:  perprag  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator