Theorem isperp2d 29070

Description: One direction of isperp2 29069. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
isperp2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
isperp2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
isperp2d.p	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isperp2d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		isperp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isperp2 29069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12		isperp2d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
13		isperp2d.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑢 = 𝑈)
15		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑋 = 𝑋)
16		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑣 = 𝑣)
17	14, 15, 16	s3eqd 14935	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
18	17	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑈 = 𝑈)
20		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑋 = 𝑋)
21		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
22	19, 20, 21	s3eqd 14935	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
23	22	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	18, 23	rspc2v 3587	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
25	12, 13, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	11, 25	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  ⟨“cs3 14913  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  LineGclng 28775  ∟Gcrag 29047  ⟂Gcperpg 29049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkg 28794  df-cgrg 28853  df-mir 29004  df-rag 29048  df-perpg 29050

This theorem is used by:  perprag  29081