Theorem isperp2d 26496

Description: One direction of isperp2 26495. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
isperp2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
isperp2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
isperp2d.p	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isperp2d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		isperp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isperp2 26495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
11	1, 10	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12		isperp2d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
13		isperp2d.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑢 = 𝑈)
15		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑋 = 𝑋)
16		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑣 = 𝑣)
17	14, 15, 16	s3eqd 14220	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
18	17	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑈 = 𝑈)
20		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑋 = 𝑋)
21		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
22	19, 20, 21	s3eqd 14220	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
23	22	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	18, 23	rspc2v 3632	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
25	12, 13, 24	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	11, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934   class class class wbr 5058  ran crn 5550  ‘cfv 6349  ⟨“cs3 14198  Basecbs 16477  distcds 16568  TarskiGcstrkg 26210  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  ∟Gcrag 26473  ⟂Gcperpg 26475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26228  df-trkgb 26229  df-trkgcb 26230  df-trkg 26233  df-cgrg 26291  df-mir 26433  df-rag 26474  df-perpg 26476

This theorem is referenced by:  perprag  26506