MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperp2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isperp2d 27544
Description: One direction of isperp2 27543. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
isperp2d.u (𝜑𝑈𝐴)
isperp2d.v (𝜑𝑉𝐵)
isperp2d.p (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
isperp2d (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp2d.p . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isperp.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 isperp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 isperp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 isperp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 isperp2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isperp2 27543 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
111, 10mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12 isperp2d.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
13 isperp2d.v . . 3 (𝜑𝑉𝐵)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑢 = 𝑈)
15 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑋 = 𝑋)
16 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑣 = 𝑣)
1714, 15, 16s3eqd 14745 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
1817eleq1d 2822 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑈 = 𝑈)
20 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑋 = 𝑋)
21 id 22 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
2219, 20, 21s3eqd 14745 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
2322eleq1d 2822 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2418, 23rspc2v 3588 . . 3 ((𝑈𝐴𝑉𝐵) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2512, 13, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2611, 25mpd 15 1 (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cin 3907   class class class wbr 5103  ran crn 5632  cfv 6493  ⟨“cs3 14723  Basecbs 17075  distcds 17134  TarskiGcstrkg 27255  Itvcitv 27261  LineGclng 27262  ∟Gcrag 27521  ⟂Gcperpg 27523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-s2 14729  df-s3 14730  df-trkgc 27276  df-trkgb 27277  df-trkgcb 27278  df-trkg 27281  df-cgrg 27339  df-mir 27481  df-rag 27522  df-perpg 27524
This theorem is referenced by:  perprag  27554
  Copyright terms: Public domain W3C validator