Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isperp2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isperp2d 26520
 Description: One direction of isperp2 26519. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
isperp2d.u (𝜑𝑈𝐴)
isperp2d.v (𝜑𝑉𝐵)
isperp2d.p (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
isperp2d (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp2d.p . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2 isperp.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 isperp.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 isperp.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 isperp.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 isperp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 isperp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 isperp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
9 isperp2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝐵))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isperp2 26519 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
111, 10mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12 isperp2d.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
13 isperp2d.v . . 3 (𝜑𝑉𝐵)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑢 = 𝑈)
15 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑋 = 𝑋)
16 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈𝑣 = 𝑣)
1714, 15, 16s3eqd 14220 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
1817eleq1d 2874 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑈 = 𝑈)
20 eqidd 2799 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑋 = 𝑋)
21 id 22 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
2219, 20, 21s3eqd 14220 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
2322eleq1d 2874 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2418, 23rspc2v 3581 . . 3 ((𝑈𝐴𝑉𝐵) → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2512, 13, 24syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (∀𝑢𝐴𝑣𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
2611, 25mpd 15 1 (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   class class class wbr 5031  ran crn 5521  ‘cfv 6325  ⟨“cs3 14198  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26234  Itvcitv 26240  LineGclng 26241  ∟Gcrag 26497  ⟂Gcperpg 26499 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-trkgc 26252  df-trkgb 26253  df-trkgcb 26254  df-trkg 26257  df-cgrg 26315  df-mir 26457  df-rag 26498  df-perpg 26500 This theorem is referenced by:  perprag  26530
 Copyright terms: Public domain W3C validator