Theorem isperp2d 28679

Description: One direction of isperp2 28678. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
isperp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
isperp2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
isperp2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
isperp2d.p	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isperp2d	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem isperp2d

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
2		isperp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		isperp.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		isperp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		isperp.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		isperp.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		isperp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		isperp2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
9		isperp2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isperp2 28678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12		isperp2d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
13		isperp2d.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑢 = 𝑈)
15		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑋 = 𝑋)
16		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → 𝑣 = 𝑣)
17	14, 15, 16	s3eqd 14789	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩)
18	17	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
19		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑈 = 𝑈)
20		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑋 = 𝑋)
21		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
22	19, 20, 21	s3eqd 14789	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ = ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩)
23	22	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (⟨“𝑈𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
24	18, 23	rspc2v 3590	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
25	12, 13, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ⟨“𝑢𝑋𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
26	11, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑈𝑋𝑉”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3904   class class class wbr 5095  ran crn 5624  ‘cfv 6486  ⟨“cs3 14767  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28390  Itvcitv 28396  LineGclng 28397  ∟Gcrag 28656  ⟂Gcperpg 28658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28411  df-trkgb 28412  df-trkgcb 28413  df-trkg 28416  df-cgrg 28474  df-mir 28616  df-rag 28657  df-perpg 28659

This theorem is referenced by:  perprag  28689