Theorem issmfled 47208

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfled.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfled.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfled.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfled.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfled.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfled	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfled.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfled.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 3949	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6686	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfled.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfled.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8	2	rabeqdv 3406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9	2	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eleq12d 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
12	7, 11	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
14	6, 13	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
15	4, 5, 14	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
16		issmfled.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		eqid 2739	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
18	16, 17	issmfle 47196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
19	15, 18	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  {crab 3391   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5073  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029   ≤ cle 11172   ↾_t crest 17375  SAlgcsalg 46759  SMblFncsmblfn 47146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-fl 13743  df-rest 17377  df-salg 46760  df-smblfn 47147

This theorem is referenced by:  smflim  47228  issmfle2d  47260