Theorem issmfled 47683

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfled.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfled.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfled.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfled.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfled.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfled	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfled.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfled.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfled.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfled.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8	2	rabeqdv 3427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9	2	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eleq12d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
12	7, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
14	6, 13	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
15	4, 5, 14	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
16		issmfled.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
18	16, 17	issmfle 47671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
19	15, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  dom cdm 5648  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156   ≤ cle 11301   ↾_t crest 17538  SAlgcsalg 47234  SMblFncsmblfn 47621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cc 10470  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-fl 13886  df-rest 17540  df-salg 47235  df-smblfn 47622

This theorem is used by:  smflim  47703  issmfle2d  47735