Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfled 42465
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfled.a 𝑎𝜑
issmfled.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfled.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfled.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfled.6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfled (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfled
StepHypRef Expression
1 issmfled.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
21fdmd 6347 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfled.d . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
42, 3eqsstrd 3889 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
51ffdmd 6360 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6 issmfled.a . . . 4 𝑎𝜑
7 issmfled.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
82rabeqdv 3401 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
92oveq2d 6986 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐹) = (𝑆t 𝐷))
108, 9eleq12d 2854 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
127, 11mpbird 249 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
1312ex 405 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 3160 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1108 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
16 issmfled.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2772 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmfle 42453 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 249 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068  wnf 1746  wcel 2050  wral 3082  {crab 3086  wss 3823   cuni 4706   class class class wbr 4923  dom cdm 5401  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10328  cle 10469  t crest 16544  SAlgcsalg 42024  SMblFncsmblfn 42408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cc 9649  ax-ac2 9677  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-card 9156  df-acn 9159  df-ac 9330  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-fl 12971  df-rest 16546  df-salg 42025  df-smblfn 42409
This theorem is referenced by:  smflim  42484  issmfle2d  42514
  Copyright terms: Public domain W3C validator