Theorem issmfled 47332

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfled.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfled.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfled.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfled.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfled.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfled	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfled.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfled.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfled.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfled.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8	2	rabeqdv 3430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎})
9	2	oveq2d 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
10	8, 9	eleq12d 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
12	7, 11	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
13	12	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
14	6, 13	ralrimi 3261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
15	4, 5, 14	3jca 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
16		issmfled.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
18	16, 17	issmfle 47320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
19	15, 18	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099  Ⅎwnf 1804   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  {crab 3415   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073   ≤ cle 11218   ↾_t crest 17450  SAlgcsalg 46883  SMblFncsmblfn 47270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cc 10393  ax-ac2 10421  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10073  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-fl 13803  df-rest 17452  df-salg 46884  df-smblfn 47271

This theorem is referenced by:  smflim  47352  issmfle2d  47384