Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfled 44969
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfled.a 𝑎𝜑
issmfled.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfled.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfled.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfled.6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfled (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfled
StepHypRef Expression
1 issmfled.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
21fdmd 6679 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3 issmfled.d . . . 4 (𝜑𝐷 𝑆)
42, 3eqsstrd 3982 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
51ffdmd 6699 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6 issmfled.a . . . 4 𝑎𝜑
7 issmfled.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
82rabeqdv 3422 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
92oveq2d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆t dom 𝐹) = (𝑆t 𝐷))
108, 9eleq12d 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹) ↔ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
127, 11mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
1312ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
146, 13ralrimi 3240 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
154, 5, 143jca 1128 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹)))
16 issmfled.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
17 eqid 2736 . . 3 dom 𝐹 = dom 𝐹
1816, 17issmfle 44957 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 𝑆𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))))
1915, 18mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wnf 1785  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  wss 3910   cuni 4865   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  cr 11049  cle 11189  t crest 17301  SAlgcsalg 44520  SMblFncsmblfn 44907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cc 10370  ax-ac2 10398  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-inf 9378  df-card 9874  df-acn 9877  df-ac 10051  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-fl 13696  df-rest 17303  df-salg 44521  df-smblfn 44908
This theorem is referenced by:  smflim  44989  issmfle2d  45021
  Copyright terms: Public domain W3C validator