MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isum 15181
Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
zsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isum.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isum (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isum
StepHypRef Expression
1 zsum.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 zsum.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ssidd 3910 . 2 (𝜑𝑍𝑍)
4 isum.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 iftrue 4430 . . . 4 (𝑘𝑍 → if(𝑘𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
65adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
74, 6eqtr4d 2777 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝑍, 𝐵, 0))
8 isum.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
91, 2, 3, 7, 8zsum 15180 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  ifcif 4424  cfv 6349  cc 10625  0cc0 10627   + caddc 10630  cz 12074  cuz 12336  seqcseq 13472  cli 14943  Σcsu 15147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-sum 15148
This theorem is referenced by:  isumclim  15217  isumclim2  15218  isumclim3  15219  sumnul  15220  isumcl  15221  isumshft  15299  isumle  15304  iprodefisum  33292  sumnnodd  42753
  Copyright terms: Public domain W3C validator